首先应该知道t乘积的概念

从下面可以看到，这是对A和B的前切面做循环卷积，其中，第一个前切面



先证明该式：

因此，

证明如下：

因此t-SVD算法如下：

matlab版本代码
python代码如下：

import numpy as np
import tensorly as tl
import t_tools

tl.set_backend('numpy')

def t_svd(A):
    Af = np.fft.fft(A,axis=2)
    U = np.zeros(tuple([A.shape[0],A.shape[0],A.shape[2]]), dtype=complex)
    S = np.zeros(tuple(A.shape), dtype=complex)
    V = np.zeros(tuple([A.shape[1],A.shape[1],A.shape[2]]), dtype=complex)

    for i3 in range(A.shape[2]):
        uf,sf,vf = np.linalg.svd(Af[:,:,i3])
        sf = np.diag(sf)

        U[:,:,i3] = uf
        S[:, :, i3] = sf
        V[:, :, i3] = vf
    U = np.fft.ifft(U,axis=2)
    S = np.fft.ifft(S,axis=2)
    V = np.fft.ifft(V,axis=2)

    Ahat = t_tools.t_prod(t_tools.t_prod(U,S),V)
    return U,S,V,Ahat
A = tl.tensor(np.random.random((5,5,3)))

U,S,V,Ahat = t_svd(A)

注意，Af = np.fft.fft(A,axis=2)
tf = np.fft.fft(A[1:,2:,:])
Af[1,2:]==tf,即沿着第三维度进行t-SVD

算法8,利用类似于FFT，可以只计算一半的SVD