几乎都是大题的考点，very important

5.1基础结构

第1，5，6讲的矩阵都是方阵，因为只有行数和列数相等才有二次型，特征值，特征向量和行列式。

第2，3，4讲的研究对象的行数和列数可以不相等。

 相似矩阵的基础就是要求出矩阵的特征值与特征向量。

他的应用主要就是只要三个方面啊！

 实对称矩阵的相似对角化就是我们第六讲的主题了。

5.2具体型矩阵的特征值与特征向量

定义

 A是一个方阵。

so amazing

 这个齐次方程组有非零解。

系数矩阵的列不满秩。

所以为什么可以根据他的行列式等于0求出。

这就叫做特征方程。 

接下来就可以求出特征值 

 

重根按重数计。

 ep:

 

 

 所以矩阵的秩至少少一个。

 自由度为1，一个向量如何线性无关，只要是非零向量就可以了。

这里的KESI我们称之为基础解系。加k才叫做通解。

 

 特征向量和通解不一样的地方，特征向量不能为零向量。

一定要保证是非零向量。

5.3抽象矩阵的特征值与特征向量

与A有关的特征值以特征向量总结如下：

 prove：

1.

 3.

4.

5.

 6.

 （3）

所以转置之后特征值是不变的。

二.基本性质

 特征值加起来是迹

特征值乘起来是行列式的值

 以三阶矩阵为例，做个证明：

 

做一个对比

2.特征向量的性质

 

 ep：

（2）

 

 

 得到k1=k2等于0，所以kesi1和kesi2线性无关。

复习了一下第三章向量线性无关的题目。

（3）

 ep：

下面我们来练习一些利用抽象矩阵性质进行转化的题目。

1.

 

 只能得到可能的特征值，不能得到特征值是几个0，几个1。

（2）抽象型如何判断可逆矩阵：

2.

3.

5.4  矩阵的相似

 

 

 

注也非常重要 

prove：

2.

3.

小证一个：

： 

5.5矩阵的相似对角化

什么叫对角阵，处了主对角元素，其他元素均为0.

 可以称之为最好看的矩阵。

 

比较好算

 

 根据矩阵相等的充要条件，对应位置元素全部相同。

这个P里面每一列都是S的特征向量，即A可相似对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量。

 

 A自己的特征值和特征向量，自产自销。

 

 

 

 

 

 

不同特征值对应的特征值也线性无关。 

对应着三个线性无关的特征向量（是列向量哦）

 一定要按照顺序写（对应着写）

自由度必须得是3，才能有3个线性无关的特征向量。

 

三行对应成比例

 

 

 

 

 

5.6实对称矩阵必可相似于对角矩阵

 

 

 

 

 可以使用施密特正交化

考研重点，几乎每年都要考大题

ep： 我们的步骤要增加：

 

承接上一步三个线性无关的特征向量，如何化简成标准正交基。

 

 由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，相乘为0，只要化简一对。

 正交化

 单位化

 

特征向量线性无关，是推不出来他们的特征值相同的。

实对称矩阵相同特征值对应的特征向量也可能是垂直的。

 

 不确定结论可以进行举例子。

应用

反求参数

 ep：

 A和A逆有着相同的特征向量

 

下面我们继续来看特征值和特征向量反求A

所以为什么整容要整容成对角阵

 

 

 

 继续强调是列向量。

 这个方法在考研的时候经常用，非常漂亮，由相似对角化整容后求解就非常方便。

 

 

不是对角矩阵，就是两个矩阵相似。

 

 根据传递性容易解出。