目的

学习和介绍一个有用的求任意简单多边形面积的经典公式。
所谓“简单多边形”，可以是凹、或凸多边形，但原则上边与边之间不能有交叉；或者，拓扑一点，从多边形卷绕数的角度，多边形内的点卷绕数只能是 ±1 <script id="MathJax-Element-1" type="math/tex">\pm 1</script>。

这个公式有悠久的历史，而且计算中十分有用，可惜维基里面只有英文版。

Shoelace公式

这里的shoelace,——“鞋带”——，并不是人名，所以翻译成“鞋带公式”没有任何问题。这个名字是怎么来的呢？因为实际计算中，公式以 n×2 <script id="MathJax-Element-2" type="math/tex">n\times 2</script> 的矩阵形式表示多边形上顺序排列的顶点，行列式的计算又存在错位，形如所系的“鞋带”，所以才得名。又叫“鞋带算法”、“鞋带法”、“高斯面积公式”、测量员公式。

维基上的简单例子是这样的，比如已知 ΔABC <script id="MathJax-Element-3" type="math/tex">\Delta ABC</script> 三个顶点的坐标 A:(x1,y1) <script id="MathJax-Element-4" type="math/tex">A: (x_1,y_1)</script>、 B:(x2,y2) <script id="MathJax-Element-5" type="math/tex">B: (x_2,y_2)</script>、 C:(x3,y3) <script id="MathJax-Element-6" type="math/tex">C: (x_3,y_3)</script>，对应的矩阵是这样的：

<script id="MathJax-Element-7" type="math/tex; mode=display">\left[ \begin{array}{ccc} \\[-5pt] x_1 & &y_1 \\ & \quad &\\[8pt] x_2 & &y_2 \\ & \quad&\\[8pt] x_3 & &y_3 \\ & \quad&\\[8pt] x_1 & &y_1 \\\ \end{array} \right]\quad{\Huge\Rightarrow}\quad\left[ \begin{array}{ccc} \\ x_1 & &y_1 \\ &\ddots& \\ x_2 & &y_2 \\ &\ddots&\\ x_3 & &y_3 \\ &\ddots& \\ x_1 & &y_1 \\ \\ \end{array} \right]{\Huge\Rightarrow}\quad\left[ \begin{array}{ccc} \\ x_1 & &y_1 \\ &{\huge\times}& \\[5pt] x_2 & &y_2 \\ &{\huge\times}&\\[5pt] x_3 & &y_3 \\ &{\huge\times}& \\[5pt] x_1 & &y_1 \\ \\ \end{array} \right]</script>

计算面积时，先根据中间一个矩阵，计算

<script id="MathJax-Element-8" type="math/tex; mode=display">a=(x_1 \times y_2)+(x_2\times y_3)+(x_3\times y_1)</script>
再从最右侧矩阵计算
<script id="MathJax-Element-9" type="math/tex; mode=display">b=(y_1 \times x_2)+(y_2\times x_3)+(y_3\times x_1)</script>
则三角形面积为：
<script id="MathJax-Element-10" type="math/tex; mode=display">S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|a-b\right|=\dfrac{1}{2}\left|\left((x_1 \times y_2)+(x_2\times y_3)+(x_3\times y_1)\right)-\left((y_1 \times x_2)+(y_2\times x_3)+(y_3\times x_1)\right)\right|</script>

代入一个简单的情形试试， A:(0,4),B:(0,0),C:(3,0) <script id="MathJax-Element-11" type="math/tex">A:(0,4),\;B:(0,0),\;C:(3,0)</script>，则是一个直角顶点在原点，底 3 <script id="MathJax-Element-12" type="math/tex">3</script> 高 4<script id="MathJax-Element-13" type="math/tex">4</script> 面积为 6 <script id="MathJax-Element-14" type="math/tex">6</script> 的直角三角形:

<script id="MathJax-Element-15" type="math/tex; mode=display">S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left((x_1 \times y_2)+(x_2\times y_3)+(x_3\times y_1)\right)-\left((y_1 \times x_2)+(y_2\times x_3)+(y_3\times x_1)\right)\right|</script>

<script id="MathJax-Element-16" type="math/tex; mode=display">=\dfrac{1}{2}\left|\left((0 \times 0)+(0\times 0)+(3\times 4)\right)-\left((4 \times 0)+(0\times 3)+(0\times 0)\right)\right|=6</script>

当简单多边形边数或顶点数更多时，则计算面积时上述矩阵为 n×2 <script id="MathJax-Element-17" type="math/tex">n\times 2</script> 维，计算规则不变。

公式的一般形式：

<script id="MathJax-Element-18" type="math/tex; mode=display">A=\dfrac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n x_i\left(y_{i+1}-y_{i-1}\right)\right| =\dfrac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n y_i\left(x_{i+1}-x_{i-1}\right)\right|=\dfrac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n\det\left( \begin{array}{cc} x_i & x_{i+1} \\ y_i & y_{i+1} \\ \end{array} \right)\right|</script>
公式中约定： 当下标大于 n <script id="MathJax-Element-19" type="math/tex">n</script> 时， xn+1=x1<script id="MathJax-Element-20" type="math/tex">x_{n+1}=x_1</script>, yn+1=y1 <script id="MathJax-Element-21" type="math/tex">y_{n+1}=y_1</script>。

它可以看作格林公式用于面积计算时的特殊情形。

证明

证明因为不难，用Green定理来证时，只须假设合适的向量场，也比较方便。所以就不写了。

这个讲完之后，后面介绍它在近似数值计算求复杂闭曲线所包围面积中的一个应用。