本篇博文主要介绍ARCH模型和GARCH模型。

一些基本定义

集群效应

在消除确定性非平稳因素的影响之后，残差序列的波动在大部分时段是平稳的，但会在某些时段波动持续偏大，在某些时段波动持续偏小，呈现出集群效应。

ARCH模型

在某段时间方差不是齐性的，由于这种序列波动特征，提出了自回归条件异方差模型（autogressive conditional heteroskedastic），即ARCH模型。

原理

假设在历史数据已知的情况下，零均值、纯随机残差序列具有异方差性：

$Var({\epsilon }_t)=h_t$

在正态分布的假定下，有

${\epsilon }_t/\sqrt{h_t}\sim N(0,1)$

异方差等价于残差平方的均值

$E({\epsilon }_t^2)=h_t$

使用残差平方序列的自相关系数${\rho }_k=\frac{Cov({\epsilon }_t^2,{\epsilon }_{t-k}^2)}{Var({\epsilon }_t^2)}$，可以考察异方差函数的自相关性。

可能出现的结果有：
（1）自相关系数恒为零，即${\rho }_k=0,k=1,2,...$
这说明异方差函数是随机的，即历史数据对未来异方差的估计一点作用都没有。

（2）存在某个自相关系数不为零，即
${\rho }_k\ne 0，k\ge 1$

意味着残差平方序列中蕴涵着某种相关信息，可以通过构造适当的模型提取这些相关信息，以获得序列异方差波动特征，ARCH模型就是基于这种场合构造的模型，具有：
$h_t=E({\epsilon }_t^2)=\omega +{\sum }_{j=1}^q{\lambda }_j{\epsilon }_{t-j}^2$
结构的模型称为q阶自回归条件异方差模型，简记为ARCH（q）

作用

$Var({\epsilon }_t|{\epsilon }_{t-1},{\epsilon }_{t-2},...)=E({\epsilon }_t^2|{\epsilon }_{t-1},{\epsilon }_{t-2},...)=\omega +{\sum }_{j=1}^q{\lambda }_j{\epsilon }_{t-j}^2$

ARCH模型的实质是将历史波动信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻画波动的变化，对于一个时间序列而言，在不同的时刻包含的历史信息不同，因而相应的条件方差也不同。

利用ARCH模型，可以刻画出随时间变化而变化的条件方差，它比无条件方差更及时地反映了序列即期波动的特征，这就是ARCH模型的作用。

使用ARCH模型提取异方差中蕴涵的相关信息的完整结构为：

ARCH检验

ARCH检验不仅要求序列具有异方差性，而且要求这种异方差性是由某种自相关关系造成的，这种自相关关系可以用残差序列的自回归模型进行拟合，常用的两种ARCH检验统计方法是Portmanteau Q检验和LM检验。

Portmanteau Q检验

如果残差序列方差非齐，且具有集群效应，那么残差平方序列通常具有自相关性，那么方差非齐检验可以转化为残差平方序列的自相关检验。

Portmanteau Q检验的假设条件是：

该假设条件等价于：
$H_0:{\rho }_1={\rho }_2=...={\rho }_q=0$
$H_1:{\rho }_1，{\rho }_2,...,{\rho }_q不全为零$
其中${\rho }_k$表示残差平方序列${\epsilon }_t^2$的延迟$k$阶自相关系数

Portmanteau Q检验统计量实际上就是${\epsilon }_t^2$的LB统计量

原假设成立时，Portmanteau Q统计量近似服从自由度为$q-1$的${\chi }^2$分布。

当$Q(q)$检验统计量的$P$值小于显著性水平$\alpha$时，拒绝原假设，认为该序列方差非齐且具有自相关关系。

拉格朗日乘子检验

拉格朗日乘子检验的构造思想：如果残差序列方差非齐，且具有集群效应，那么残差平方序列通常具有自相关性。
可以尝试使用自回归模型（ARCH(q)模型）拟合残差平方序列

${\epsilon }_t^2=\omega +{\sum }_{j=1}^q{\lambda }_j{\epsilon }_{t-j}^2+e_t$

于是方差齐性检验就可以转化为这个方程是否显著成立的检验。拉格朗日乘子检验实际上就是残差平方序列${\epsilon }_t^2$自回归方程的显著性检验。

拉格朗日乘子检验的假设条件为：

对残差平方序列构造$q$阶自回归方程，假设条件等价为：

记总误差平方和为$SST={\sum }_{t=q+1}^T{\epsilon }_t^2$，自由度为$T-q-1$，回归平方和为$SSR=SST-SSE$，自由度为$q$，其中，$SSE$为回归方程残差平方和，$SSE={\sum }_{t=q+1}^T{e}_t^2$，自由度为$T-2q-1$，则$LM$检验统计量为：

原假设成立时，$LM(q)$统计量近似服从自由度为$q-1$的${\chi }^2$分布

当$LM(q)$检验统计量的$P$值小于显著性水平$\alpha$时，拒绝原假设，认为该序列方差非齐，并且可以用$q$阶自回归模型拟合残差平方序列中的自相关关系。

GARCH模型

ARCH模型的实质是使用残差平方序列的$q$阶移动平均拟合当期异方差函数值，由于移动平均模型具有自相关系数$q$阶截尾性，所以ARCH模型实际上只适用于异方差函数短期自相关过程。

而GARCH模型是在ARCH模型的基础上，增加考虑了异方差函数的$p$阶自相关性而形成的，它可以有效地拟合具有长期记忆性的异方差函数。

定义

广义自回归条件异方差模型，结构如下：

AR-GARCH模型

回归函数$f(t,x_{t-1},x_{t-2},...)$不能充分提取原序列中的相关信息，${\epsilon }_t$可能具有自相关性，而不是纯随机的，这时需要先对${\epsilon }_t$拟合自回归模型，再考虑自回归残差序列$v_t$的方差齐性，如果$v_t$异方差，对它拟合GARCH模型，这样构造的模型称为AR-GARCH模型

GARCH模型的衍生模型

指数GARCH模型

方差无穷GARCH模型

当GARCH模型平稳时，${\epsilon }_t$的无条件方差为：

把这个约束条件改写为：

就构成了IGARCH模型

依均值GARCH模型