【圆锥曲线】抛物线

如雨随行2020

3512人浏览 · 2022-03-11 23:33:51

如雨随行2020 · 2022-03-11 23:33:51 发布

一、定义与方程

$定义:到定点F(p2,0)和直线x=−p2距离相等的运动轨迹，F点被称为焦点，直线被称为准线定义:到定点F(\frac{p}{2},0)和直线x=-\frac{p}{2}距离相等的运动轨迹，F点被称为焦点，直线被称为准线$

$方程：y^2=2px$

二、切线方程

$已知抛物线方程：y^2=2px以及曲线上一点P(x_0, y_0)，求过P点的切线方程$

$解：方程两边对x求导：2yy^{'}=2p，设切线上动点M(x,y)$

$则y′∣x0=kMP=y−y0x−x0则y'|_{x_0}=k_{MP}=\frac{y-y_0}{x-x_0}$

$带入上式得：y0y−y0x−x0=p带入上式得：y_0\frac{y-y_0}{x-x_0}=p$

$整理得y_0y=p(x+x_0)，即为切线方程$

三、光学性质

抛物线光学性质：从焦点发出的光学经过反射后，平行与焦点到准线的垂线

问题 : $已知抛物线：y2=2px的焦点B(p2,0)，A为抛物线上任意一点(x0,y0),AG为AB关于过A点切线DF的反射线，即∠BAD=∠FAG求证:AG//DB已知抛物线：y^2=2px的焦点B(\frac{p}{2},0)，A为抛物线上任意一点(x_0,y_0),AG为AB关于过A点切线DF的反射线，即\angle{BAD}=\angle{FAG}\\求证:AG // DB$

证明： $过A点的切线DF方程为：y0y=p(x+x0)，令y=0，得到D点坐标(−x0,0),又∵B(p2,0),∴DB=x0+p2而根据抛物线性质，AB等于A到x=−p2的距离，即AB=x0+p2=DB∴△ABD为等腰三角形，即∠BDA=∠BAD=∠FAG∴AG//DB过A点的切线DF方程为：y_0y=p(x+x_0)，令y=0，得到D点坐标(-x_0,0),\\又\because B(\frac{p}{2},0),\therefore DB=x_0+\frac{p}{2} \\而根据抛物线性质，AB等于A到x=-\frac{p}{2}的距离，即AB=x_0+\frac{p}{2}=DB\\\therefore \triangle ABD为等腰三角形，即\angle BDA =\angle BAD=\angle{FAG}\\\therefore AG//DB$

四、性质和结论

离心率（ $e=ca=1e=\frac{c}{a}=1$ ）

通径（ $d = 2 e p = 2 p$ )

焦半径（ $r=x+p2或者ep1−ecosθ(θ为点到焦点与x轴正方向夹角)r=x+\frac{p}{2}或者\frac{ep}{1-ecos\theta}(\theta为点到焦点与x轴正方向夹角)$ ）

特殊点

$已知抛物线y^2=2px$

1. $直线l与抛物线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则AB与x轴交于(a,0)，a=−y1y22p直线l与抛物线交于A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)两点，则AB与x轴交于(a, 0)，a=-\frac{y_1y_2}{2p}$

$证明：设A(y122p,y1),B(y122p,y1)，用两点式列出直线方程，再把(a,0)带入，解出a证明：设A(\frac{y_1^2}{2p}, y_1),B(\frac{y_1^2}{2p}, y_1)，用两点式列出直线方程，再把(a,0)带入，解出a$

2. $上面情况下，如果OA⃗⊥OB⃗,则AB与x轴交于(2p,0)上面情况下，如果\vec{OA}\perp\vec{OB},则AB与x轴交于(2p,0)$

$证明：设A(y122p,y1),B(y122p,y1)，带入OA⃗⊥OB⃗，解得y1y2=−4p2，∴a=2p证明：设A(\frac{y_1^2}{2p}, y_1),B(\frac{y_1^2}{2p}, y_1)，带入\vec{OA}\perp\vec{OB}，解得y_1y_2=-4p^2，\therefore a=2p$