参考文献：

1. Cooley J W, Tukey J W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series[J]. Mathematics of computation, 1965, 19(90): 297-301.
2. Harvey D. Faster arithmetic for number-theoretic transforms[J]. Journal of Symbolic Computation, 2014, 60: 113-119.

DFT

离散傅里叶变换和相应的逆变换为：

$$\begin{array}{r}{X}_k=\sum _{l=0}^{n-1}{x}_l{w}_n^{kl},k=0,1,\cdots ,n-1\\ x_l=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{X}_k{w}_n^{-kl},l=0,1,\cdots ,n-1\end{array}$$

Cooley–Tukey Butterfly

推导

DFT可以写成：
$$\begin{array}{rl}{X}_k=& \sum _{l=0}^{n-1}{x}_l{w}_n^{kl}\\ =& \sum _{l=0}^{n/2-1}{x}_{2l}{w}_n^{k(2l)}+\sum _{l=0}^{n/2-1}{x}_{2l+1}{w}_n^{k(2l+1)}\end{array}$$
令：
$$\begin{array}{rl}{G}_k=& \sum _{l=0}^{n/2-1}{x}_{2l}{w}_{n/2}^{kl}\\ H_k=& \sum _{l=0}^{n/2-1}{x}_{2l+1}{w}_{n/2}^{kl}\end{array}$$
那么：
$$\begin{array}{r}{X}_k=G_k+w_n^k{H}_k\\ X_{k+n/2}=G_k-w_n^k{H}_k\end{array}$$
并且，$G_k,H_k$保持$X_k$的分解性质，可以继续分解。

CT蝴蝶

$$\begin{array}{ccccccccc}{G}_k& \to & \to & \to & \to & \to & \oplus & \to & X_k\\ & & & \searrow & & \nearrow & & & \\ & & & & \cdot & & & & \\ & & & \nearrow & & \searrow & & & \\ H_k& \to & \otimes & \to & \to & \to & \ominus & \to & X_{k+n/2}\\ & & \uparrow & & & & & & \\ & & w_n^k& & & & & & \end{array}$$

定义比特反序：$br{v}_L({\sum }_{i=0}^{L-1}{a}_i{2}^i):={\sum }_{i=0}^{L-1}{a}_i{2}^{L-i-1}$

令FFT的空间表示为：{xl}→{xl′}→⋯→{Xk}\{x_l\} \rightarrow \{x'_l\} \rightarrow \cdots \rightarrow\{X_k\}{xl​}→{xl′​}→⋯→{Xk​}，从左到右的运算依次记做第$j=1,2,\cdots$层。

• 先将{xl}\{x_l\}{xl​}按照$br{v}_L(l)$重新排序，得到{xl′}\{x'_l\}{xl′​}，上半部分是$G_k$序列，下半部分是$H_k$序列。
• 在第$j$层运算，将$n=2^L$长序列分成长度$2^j$的$2^{L-j}$个基本块。
• 在每个块里，上半部分是$G_k$序列，下半部分是$H_k$序列。
• 利用CT蝴蝶，计算$X_k$和$X_{k+n/2}$ (这只是中间结果)，排成$2^j$长序列
• 迭代运算$L$层后，得到序列{Xk}\{X_k\}{Xk​}

Gentleman–Sande Butterfly

推导

DFT可以写成：
$$\begin{array}{rl}{X}_k=& \sum _{l=0}^{n-1}{x}_l{w}_n^{kl}\\ =& \sum _{l=0}^{n/2-1}{x}_l{w}_n^{kl}+\sum _{l=0}^{n/2-1}{x}_{l+n/2}{w}_n^{k(l+n/2)}\\ =& \sum _{l=0}^{n/2-1}(x_l+x_{l+n/2}{w}_n^{kn/2})w_n^{kl}\end{array}$$
并且：
$$\begin{array}{rl}{X}_{2m}=& \sum _{l=0}^{n/2-1}(x_l+x_{l_n/2})w_n^{2ml}\\ X_{2m+1}=& \sum _{l=0}^{n/2-1}[(x_l-x_{l_n/2})w_n^l]w_n^{2ml}\end{array}$$
令：
$$\begin{array}{rl}{y}_l=& x_l+x_{l+n/2}\\ z_l=& (x_l-x_{l_n/2})w_n^l\end{array}$$
那么：
$$\begin{array}{rl}{X}_{2m}=& \sum _{l=0}^{n/2-1}{y}_l{w}_n^{2ml}\\ X_{2m+1}=& \sum _{l=0}^{n/2-1}{z}_l{w}_n^{2ml}\end{array}$$
并且，$X_{2m},X_{2m+1}$保持$X_k$的分解性质，可以继续分解。

GS蝴蝶

$$\begin{array}{ccccccccc}{x}_l& \to & \to & \to & \oplus & \to & y_l& & \\ & \searrow & & \nearrow & & & & & \\ & & \cdot & & & & & & \\ & \nearrow & & \searrow & & & & & \\ x_{l+n/2}& \to & \to & \to & \ominus & \to & \otimes & \to & z_l\\ & & & & & & \uparrow & & \\ & & & & & & w_n^l& & \end{array}$$

定义比特反序：$br{v}_L({\sum }_{i=0}^{L-1}{a}_i{2}^i):={\sum }_{i=0}^{L-1}{a}_i{2}^{L-i-1}$

令FFT的空间表示为：{xl}→⋯→{Xk′}→{Xk}\{x_l\} \rightarrow \cdots \rightarrow \{X'_k\} \rightarrow \{X_k\}{xl​}→⋯→{Xk′​}→{Xk​}，从左到右的运算依次记做第$j=1,2,\cdots$层。

• 利用CT蝴蝶，先将{xl}\{x_l\}{xl​}计算得到{yl}\{y_l\}{yl​}和{zl}\{z_l\}{zl​}，并将{yl}\{y_l\}{yl​}排列在上半部分，{zl}\{z_l\}{zl​}排列在下半部分。
• 在第$j$层运算，将$n=2^L$长序列分成长度$2^{L-j}$的$2^j$个基本块。
• 在每个块里，利用CT蝴蝶，计算$y_l$和$z_l$ (这只是中间结果)
• 排成$2^{L-j}$长序列，{yl}\{y_l\}{yl​}排列在上半部分，{zl}\{z_l\}{zl​}排列在下半部分。
• 迭代运算$L$层后，得到序列{Xk′}\{X'_k\}{Xk′​}
• 将{Xk′}\{X'_k\}{Xk′​}按照$br{v}_L(k)$重新排序，得到{Xk}\{X_k\}{Xk​}