复向量的内积与共轭

醉雨轩^_^

19929人浏览 · 2020-11-30 10:35:03

醉雨轩^_^ · 2020-11-30 10:35:03 发布

一个信号离散序列为 $\boldsymbol{s}=[s_{1},...,s_{n}]^{T}$ ，函数为 $\boldsymbol{h}=[h_{1},...,h_{n}]^{T}$ 之间的内积为：

公式1：

$\langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle= \boldsymbol{s}^{H}\boldsymbol{h}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}h_{i}$

其中， $x^{*}$ 表示复共轭，这种内积公式转换称之为典范内积

公式2：

$\langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle= \boldsymbol{s}^{T}\boldsymbol{h}^{*}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}^{*}$

举个例子说明：

$\boldsymbol{s}=[ 2+j,3+j]$ , $\boldsymbol{h}=[1+2j,2+j]$

$\langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle= \boldsymbol{s}^{H}\boldsymbol{h}=[2-j,3-j][1+2j,2+j]^{T}=11+4j$

$\langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle= \boldsymbol{s}^{T}\boldsymbol{h}^{*}=[2+j,3+j][1-2j,2-j]^{T}=11-4j$

所以，上述展开的典范内积计算结果是共轭的。

公式1和公式2的定义携带了相同的矢量内积信息，在矢量内积的意义上2个定义公式是等价的，

$\left | \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}h_{i} \right |=\left | \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}^{*} \right |$

$\arg\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}h_{i} \right )=-\arg\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}^{*} \right )$

$\cos\left ( \arg\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{*}h_{i} \right ) \right )=\cos\left ( -\arg\left ( \sum_{i=1}^{n}x_{i}h_{i}^{*} \right ) \right )$

$\boldsymbol{s}.\boldsymbol{h} =\Re\left (\langle \boldsymbol{s}, \boldsymbol{h} \rangle \right )$

2048 AI社区

有“AI”的1024 = 2048，欢迎大家加入2048 AI社区

更多推荐

Kubernetes CoreDNS 解析超时排查（ndots 与 NodeLocal DNSCache）

CoreDNS 超时先用 ClusterIP 直连排除数据面，再读 Pod的ndots 与 search。默认 ndots:5 让短名查询放大数倍，AAAA 再乘一倍。指标上区分 NXDOMAIN 瀑布和真正的 SERVFAIL/p99。NodeLocal DNSCache 降 RTT、不消灭放大；根上仍是 FQDN 或谨慎的 dnsConfig。改 DNS 全局配置必须可回滚，禁止先停 Core