动力学介绍

机器人动力学明确描述机器人力和运动之间的关系。在机器人设计、机器人运动仿真和动画以及控制算法设计中，都需要考虑动力学方程，他是对机器人系统力和运动关系的完整表述。

动力学方程一般有两种形式：
1. 欧拉-拉格朗日运动方程
2. 牛顿-欧拉方程
3.

动力学模型

欧拉-拉格朗日运动方程：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1">L=K+P</script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-2">\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}} - \frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}}=\tau_i,i=1, \cdots ,n</script>

写成以下紧凑的形式为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-3">\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}} )^T - （\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}}）^T=\tau</script>

• n连杆机器人的动能：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-4">K=\frac{1}{2}\dot{q}^T[ \sum^m_{i=1} \{ m_i J_{v}^i (q)^T J_{v}^i(q) + J_{\omega}^i(q)^T R_i(q) I_i R_i(q)^T J_{\omega}^i(q) \} ] \dot{q}= \frac{1}{2} \dot{q}^T D(q) \dot{q}</script>

其中：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-5"> D(q)=[ \sum^m_{i=1} \{ m_i J_{v}^i(q)^T J_{v}^i(q) + J_{\omega}^i(q)^T R_i(q) I_i R_i(q)^T J_{\omega}^i(q) \} ] </script>

被称为惯性矩阵，是一个与形位相关的 n∗n<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">n*n</script> 对称、正定矩阵。

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-7"> J_{v}^i= [ J_{v_1}^i \cdots J_{v_i}^i \ 0 \cdots 0] </script>
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-8"> J_{\omega}^i= [ J_{\omega_1}^i \cdots J_{\omega_i}^i \ 0 \cdots 0] </script>

对旋转关节：Jivj=zj∗(pli−pj)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9"> J_{v_j}^i= z_{j}*(p_{l_i}-p_j) </script>，Jiωj=zj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10"> J_{\omega_j}^i=z_j </script>
对移动关节：Jivj=zj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-11"> J_{v_j}^i= z_{j} </script>，Jiωj=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12"> J_{\omega_j}^i=0 </script>
mi<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">m_i</script>为连杆的质量，Jiv和Jiω<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14"> J_{v}^i 和 J_{\omega}^i</script>是各关节连杆坐标系相对基坐标系对应的雅克比矩阵，Ri<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15"> R_i </script>为各连杆坐标系相对基坐标系的旋转矩阵。

• n连杆机器人的势能：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-16">P=\sum^m_{i=1} m_i g_0^T p_{i} </script>
其中，Pi<script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">P_i</script>是第i<script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">i</script>连杆的质心，g0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">g_0</script>为重力加速度向量

• 欧拉-拉格朗日运动方程可以写成：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-545">\sum^n_{j=1} d_{ij}(q) \ddot q_j + \sum^n_{i=1} \sum^n_{j=1} c_{ijk}(q)\dot{q_i}\dot{q_j} + g_i(q)=\tau_i</script>
其中：cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-546"> c_{ijk}=\frac {1}{2}( \frac{\partial b_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial b_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial b_{jk}}{\partial q_i} )</script>, 对确定的k<script type="math/tex" id="MathJax-Element-547">k</script>, cijk=cjik<script type="math/tex" id="MathJax-Element-548">c_{ijk}=c_{jik}</script>,此处的cijk<script type="math/tex" id="MathJax-Element-549">c_{ijk}</script>被称作（第一类）Christoffel 符号。

考虑机器人末端的受力he<script type="math/tex" id="MathJax-Element-550">h_e</script>, 表示由粘滞摩擦系数构成的矩阵Fv<script type="math/tex" id="MathJax-Element-551">F_v</script>, 和 表示静摩擦力的矩阵Fs<script type="math/tex" id="MathJax-Element-552">F_s</script>,用矩阵形式表示为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-553">D(q) \ddot q +C(q,\dot q) \dot q+F_v\dot q+F_s sgn (\dot q)+g(q)=\tau-J^T(q)h_e</script>
其中：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-554"> \sum^n_{j=1}c_{ij} q_{(j)}= \sum^n_{j=1} \sum^n_{k=1} c_{ijk} \dot q_{(k)} \dot q_{(j)}</script>