在设定GAN的损失函数时，总会有文献说Saturating和Non-Saturating Loss functions，具体他们各是什么，以及为什么这么称呼呢？

一句话总结：非饱和损失函数能在训练早期提供更大的梯度

我们首先看一下两种的数学表达式

1. 饱和Loss：生成器希望最小化被判断为假的概率
   $$\min \log (1-D(G(z)))\text{\hspace{1em}(1)}$$

2. 非饱和Loss：生成器希望最大化被判断为真的概率
   $$\begin{gathered} \max \log (D(G(z))) \\ \text{or}\min -\log (D(G(z)))\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

后者能提供的梯度信息更好，为什么呢？

在训练的初始阶段，$G$ 生成的样本很容易被 $D$ 识别出来，也就是 $D(G(z))$ 趋近于0，此时饱和GAN的 Loss_G 的梯度会很小，所以饱和了。而非饱和GAN的 Loss_G 的梯度会大很多，能够为网络的权重更新提供好的梯度方向，帮助收敛，所以没饱和。

图来自于
A Review on Generative Adversarial Networks: Algorithms, Theory, and Applications