一、问题引入

1.1 TSP问题

遍历34个省级行政区，每个城市访问1次并最终回到起始城市，且总路径最短。

1.2 问题分析

• 模型假设：遍历过程中，两两城市直线距离为路径距离，每个目的地为节点，图论问题

• 可行解：34!种可行方案

  数量级在10^38次

补充：P/NP/NP-C/NP-H问题

首先我们要知道，这些问题的划分是基于算法能否在多项式时间内验证的、解决的，这让我们对算法的效率和问题的难易做了一个等级划分。

**NP:**Non deterministic polynominal，非确定性多项式

• P问题：多项式时间内可以解决的
• NP问题：多项式时间内可以验证的（所以我们看出，这是一定包含P问题的）
• NP-Complete：它比较特殊，既属于NP-Hard又属于NP问题
• NP-Hard：所有NP问题可以约化为的问题

理解：

• TSP问题就是著名的一个NP类问题，也就是我们可以在多项式的时间内验证并得出问题的正确解，但是就像上文所说，我们不知道是否有一个多项式时间的算法，每次解决它（当然不一定不存在，但是我们完全不知道）
• 约化是具有传递性的，如A约化到B，B约化到C，A就可以约化到C，同时不断约化下去，我们会发现一个很惊人的特性，就是他一定会存在一个最大的问题，而我们只需要解决了这个问题，那其下的所有问题也就解决了。所以说同样的，存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它，解决了这个问题，所有的NP问题都解决了。
• NP-Hard就没有NP问题的限制，范围更广，不一定在多项式内可以验证

二、算法框架

• 蚁群活动
• 信息素挥发
• 信息素增强

核心： 转移概率公式+信息素更新公式

一直蚂蚁的信息素总量视为有限的常数，蚂蚁走过的路径（这里重点是全程而不是本小段路径长度）越短，留在路径上的信息素浓度越高

三、算法步骤

3.1 参数初始化：

$$\begin{gathered} df初始化蚂蚁数量m，城市数量n \\ t时刻，i和j路径上的信息素浓度{\tau }_{ij}(t) \\ 初始化信息素浓度为{\tau }_{ij}(0)={\tau }_0 \\ 挥发速率\rho \\ 浓度因素重要性\alpha 和路径长度重要性\beta \end{gathered}$$

3.2 计算概率：

对于每一个蚂蚁k : 从第i个城市不断进行选择,依据就是我们的选择概率：（为了防止收敛速度过慢，搜索范围过大，我们将d也纳入到选 择概率考虑的一部分）
KaTeX parse error: No such environment: split at position 31: …n{cases} \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ \frac{\tau_{ij…
！！！！：此时此刻我们的i是确定的,不变的，只需要看j(未访问过的城市)

分析：

$$\begin{gathered} \alpha =0,为根据d_{ij}来的贪心算法，可能陷入局部最优解 \\ \beta =0,则完全由信息素浓度决定，为正反馈的启发式算法，可能收敛速度太快 \end{gathered}$$

3.3 更新信息素浓度：

对于每一只蚂蚁的一条满足条件的路径就是一个可行解，我们开始比较可行解的优劣并（以信息素浓度的形式）反馈到下一次寻找过程当中。

对于每一条路径ij：（取决于原有的和t时刻新增的）
$$\begin{gathered} {\tau }_{ij}(t+1)=(1-\rho ){\tau }_{ij}(t)+\sum _{k=1}^m\Delta {\tau }_{ij}(t{)}^k,0<\rho <1 \\ {\tau }_{ij}(t{)}^k=\{\begin{array}{l}\frac{Q}{L_k},第k只蚂蚁曾经过i到j\\ 0else\end{array} \end{gathered}$$
注意这里：更新某条路径的信息素和第k个蚂蚁的优劣相关，所以一定是Q/Lk，其中L是整个路径长度（也就是一个完整的可行解）

求出本轮每只蚂蚁的总路径的最小值，与上一轮最优解相比，最小的记为当前最优解

3.4判断是否终止：

• 达到最大迭代次数
• 最优解差值小于阈值

3.5 未终止则下一次迭代

清空本轮蚂蚁走过的路径，信息素保持更新后的不变，返回3.2

四、示例图解

五、拓展解决背包问题

5.1 问题描述

有10件货物要从甲地运送到乙地，每件货物重量和利润如下表所示：

物品	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
重量（吨）	6	3	4	5	1	2	3	5	4	2
利润 （元）	510	220	150	340	70	160	290	430	320	110

由于只有一辆最大载重为30吨的货车来运算货物，只能选择部分货物运送。要求确定运算哪些货物可以是总利润最大。

5.2 问题建模

5.3 代码附上

function ant_colony_knapsack()  
    % 物品的重量和利润  
    weights = [6, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 5, 4, 2];  % 重量  
    profits = [510, 220, 150, 340, 70, 160, 290, 430, 320, 110];  % 利润  
    max_weight = 30;  % 最大承载重量  
    num_items = length(weights);  % 物品数量  

    % 蚁群算法参数  
    num_ants = 50;     % 蚂蚁数量  
    max_iterations = 500; % 迭代次数  
    alpha = 1;        % 信息素重要性  
    beta = 2;         % 启发函数重要性  
    evaporation_rate = 0.1; % 信息素挥发率  

    % 初始化信息素矩阵  
    pheromone = ones(num_items, 1);  

    best_profit = 0;  
    best_solution = zeros(1, num_items);  

    for iteration = 1:max_iterations  
        solutions = zeros(num_ants, num_items);  
        profits_collected = zeros(num_ants, 1);  

        for ant = 1:num_ants  
            % 蚂蚁选择物品  
            for i = 1:num_items  
                if rand < prob_select(pheromone(i), alpha, beta)  
                    solutions(ant, i) = 1; % 选择该物品  
                end  
            end  
            % 计算总重量和利润  
            total_weight = sum(weights .* solutions(ant, :));  
            if total_weight <= max_weight  
                profits_collected(ant) = sum(profits .* solutions(ant, :));  
            end  
        end  

        % 更新信息素  
        pheromone = (1 - evaporation_rate) * pheromone; % 衰减  
        for ant = 1:num_ants  
            if profits_collected(ant) > best_profit  
                best_profit = profits_collected(ant);  
                best_solution = solutions(ant, :);  
            end  
            % 增加信息素  
            pheromone = pheromone + solutions(ant, :) * profits_collected(ant);  
        end  
    end  

    % 输出结果  
    selected_items = find(best_solution);  % 找到选择的物品  
    fprintf('选择的物品索引： %s\n', num2str(selected_items));  
    fprintf('总利润： %d 元\n', best_profit);  
end  

function p = prob_select(pheromone, alpha, beta)  
    % 计算选择概率  
    p = pheromone ^ alpha;  % 取权重  
end

5.4 结果