我们都知道，$e^x$的导数为$e^x$，但怎么证明呢？

设$y=e^x$

则$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}$

$=e^x\times \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$

$\because e=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

$\therefore \underset{\Delta x\to 0}{\lim }(1+\Delta x{)}^{\frac{1}{\Delta x}}=e$

$y^{\prime }=e^x\times \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{((1+\Delta x{)}^{\frac{1}{\Delta x}}{)}^{\Delta x}-1}{\Delta x}$

$=e^x\times \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(1+\Delta x)-1}{\Delta x}$

$=e^x\times \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x}$

$=e^x$

所以$e^x$的导数为$e^x$

补充

证明：$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

解：
已证出$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，则$a^x=(e^{\ln a}{)}^x=e^{x\ln a}$

所以$(a^x{)}^{\prime }=(e^{x\ln a}{)}^{\prime }=e^{x\ln a}\times \ln a=a^x\ln a$