写论文的时候真的困惑，为什么depent plot自动画出来的不是和某个变量的交互作用最大的变量；也好奇是不是变量重要性越高，它越可能在交互作用下有优势【回答：应该不是】。

Shapeley值理论基础

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背景：

假设 A、B、C 三个人一起打车，车费总共是 100 元。每个人对车费的贡献不同，具体如下：

• 如果只有 A 一个人打车，车费是 40 元。
• 如果只有 B 一个人打车，车费是 30 元。
• 如果只有 C 一个人打车，车费是 50 元。
• 如果 A 和 B 一起打车，车费是 60 元。
• 如果 A 和 C 一起打车，车费是 80 元。
• 如果 B 和 C 一起打车，车费是 70 元。
• 如果 A、B、C 一起打车，车费是 100 元。

我们的目标是公平地分摊这 100 元车费，根据每个人对总车费的贡献来计算他们应该支付的金额。这时就可以用到 Shapley 值。

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Shapley 值的核心思想：

Shapley 值是一种公平分配贡献的方法，它考虑了每个人在所有可能的组合中的边际贡献。具体来说，Shapley 值的计算步骤如下：

1. 列出所有可能的组合：包括 A、B、C 的所有可能组合（如 A 单独、A 和 B、A 和 C、A+B+C 等）。
2. 计算每个人的边际贡献：即某个人加入一个组合后，总车费的变化。
3. 平均边际贡献：对每个人的所有边际贡献取平均值，得到其 Shapley 值。

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计算步骤：

1. 计算 A 的 Shapley 值：

A 可以加入以下组合：

• 空集 → {A}：边际贡献 = 40 - 0 = 40 元
• {B} → {A, B}：边际贡献 = 60 - 30 = 30 元
• {C} → {A, C}：边际贡献 = 80 - 50 = 30 元
• {B, C} → {A, B, C}：边际贡献 = 100 - 70 = 30 元

A 的 Shapley 值 = (40 + 30 + 30 + 30) / 4 = 32.5 元

2. 计算 B 的 Shapley 值：

B 可以加入以下组合：

• 空集 → {B}：边际贡献 = 30 - 0 = 30 元
• {A} → {A, B}：边际贡献 = 60 - 40 = 20 元
• {C} → {B, C}：边际贡献 = 70 - 50 = 20 元
• {A, C} → {A, B, C}：边际贡献 = 100 - 80 = 20 元

B 的 Shapley 值 = (30 + 20 + 20 + 20) / 4 = 22.5 元

3. 计算 C 的 Shapley 值：

C 可以加入以下组合：

• 空集 → {C}：边际贡献 = 50 - 0 = 50 元
• {A} → {A, C}：边际贡献 = 80 - 40 = 40 元
• {B} → {B, C}：边际贡献 = 70 - 30 = 40 元
• {A, B} → {A, B, C}：边际贡献 = 100 - 60 = 40 元

C 的 Shapley 值 = (50 + 40 + 40 + 40) / 4 = 42.5 元

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最终结果：

根据 Shapley 值，三个人分摊车费如下：

• A 支付：32.5 元
• B 支付：22.5 元
• C 支付：42.5 元

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为什么 Shapley 值公平？

1. 考虑了所有可能的组合：Shapley 值不仅考虑了个人的单独贡献，还考虑了他们在不同组合中的贡献。
2. 边际贡献的平均值：通过对所有边际贡献取平均值，避免了单一组合的偏差。
3. 满足公平性：Shapley 值满足以下公平性条件：
   • 效率性：所有人的分摊总和等于总车费（32.5 + 22.5 + 42.5 = 100）。
   • 对称性：如果两个人的贡献相同，他们的分摊也相同。
   • 零贡献者支付为零：如果某个人对车费没有贡献，他不需要支付。

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交互 SHAP 值（Interaction SHAP Values）

交互 SHAP 值（Interaction SHAP Values）是 SHAP 值的扩展，用于衡量两个特征之间的交互作用对模型输出的影响。它可以帮助我们理解特征之间是否存在协同效应（synergy）或对抗效应（antagonism）。

下面我们仍然用 ABC 三个人分摊车费的形式来解释交互 SHAP 值。我们已经通过 Shapley 值计算了每个人的单独贡献，现在进一步分析 两个人之间的交互作用。

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交互 SHAP 值的核心思想：

交互 SHAP 值衡量的是两个特征一起出现时，对模型输出的额外贡献，即超出它们单独贡献的部分。具体来说，交互 SHAP 值的计算步骤如下：

1. 计算单独贡献：使用 Shapley 值计算每个人的单独贡献。
2. 计算联合贡献：计算两个人一起出现时的贡献。
3. 计算交互作用：联合贡献减去单独贡献，得到交互作用。

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计算步骤：

1. 计算 A 和 B 的交互 SHAP 值：

• A 的单独贡献：32.5 元
• B 的单独贡献：22.5 元
• A 和 B 一起打车的联合贡献：60 元

交互 SHAP 值 = 联合贡献 - (A 的单独贡献 + B 的单独贡献)
= 60 - (32.5 + 22.5)
= 5 元

2. 计算 A 和 C 的交互 SHAP 值：

• A 的单独贡献：32.5 元
• C 的单独贡献：42.5 元
• A 和 C 一起打车的联合贡献：80 元

交互 SHAP 值 = 联合贡献 - (A 的单独贡献 + C 的单独贡献)
= 80 - (32.5 + 42.5)
= 5 元

3. 计算 B 和 C 的交互 SHAP 值：

• B 的单独贡献：22.5 元
• C 的单独贡献：42.5 元
• B 和 C 一起打车的联合贡献：70 元

交互 SHAP 值 = 联合贡献 - (B 的单独贡献 + C 的单独贡献)
= 70 - (22.5 + 42.5)
= 5 元

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结果解释：

• A 和 B 的交互 SHAP 值为 5 元，表示 A 和 B 一起打车时，他们的贡献比单独贡献之和多了 5 元。这是一种协同效应。
• A 和 C 的交互 SHAP 值为 5 元，表示 A 和 C 一起打车时，他们的贡献比单独贡献之和多了 5 元。这也是一种协同效应。
• B 和 C 的交互 SHAP 值为 5 元，表示 B 和 C 一起打车时，他们的贡献比单独贡献之和多了 5 元。同样是一种协同效应。

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总结：

交互 SHAP 值帮助我们理解特征之间的交互作用。在这个例子中，A、B、C 两两之间都存在协同效应，即他们一起打车时，对车费的贡献比单独贡献之和更大。

在机器学习中，交互 SHAP 值可以用于：

1. 发现特征之间的协同或对抗效应：例如，某些特征组合可能对模型输出的影响更大。
2. 解释复杂模型：帮助理解模型如何利用特征之间的交互作用进行预测。
3. 优化特征工程：识别重要的特征组合，改进模型性能。

通过交互 SHAP 值，我们可以更全面地理解特征之间的关系，而不仅仅是它们的单独贡献。