矩阵论的一些问题(最小多项式，jordan标准型，矩阵范数)
1.最小多项式求法
比如例题A=[123056009]
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 5 & 6 \\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
⎣⎡100250369⎦⎤
求它的最小多项式。
解：|λE-A|=[λ−5−2−30λ−5−600λ−9]
\begin{bmatrix}
λ-5 & -2 & -3 \\
0 & λ-5 & -6 \\
0 & 0 & λ-9
\end{bmatrix}
⎣⎡λ−500−2λ−50−3−6λ−9⎦⎤
得到(λ-5) ²×(λ-9)，要求它的最小多项式就是求它的特征值时的这个式子，不过要经过验算，这个矩阵的最小多项式有两种可能，一个是(λ-5)×(λ-9)，因为它要包含所有的特征值，经过验算将|5E-A||9E-A|的矩阵值不等于0，所以它的最小多项式为(λ-5) ²×(λ-9)。如果将A改为：
[500050009]
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
⎣⎡500050009⎦⎤那么他的最小多项式为(λ-5)×(λ-9)，因为|5E-A||9E-A|的矩阵值为0
2.jordan标准型
比如例题A=[2−1103−1213]
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1 \\
0 & 3 & -1 \\
2 & 1 & 3
\end{bmatrix}
⎣⎡202−1311−13⎦⎤
求它的jordan标准型。
解：|λE-A|=[λ−21−10λ−31−2−1λ−3]
\begin{bmatrix}
λ-2 & 1 & -1 \\
0 & λ-3 & 1 \\
-2 & -1 & λ-3
\end{bmatrix}
⎣⎡λ−20−21λ−3−1−11λ−3⎦⎤
经过初等行变换得到(λ-2) ²×(λ-4)。则(λ-2)对应的jordan块为J(2,2)=[2102]
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 2 \\
\end{bmatrix}
[2012](λ-4)对应的jordan块为J(4,1)=[4],则矩阵的jordan标准型为
[210020004]
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
⎣⎡200120004⎦⎤
3.求矩阵范数
已知矩阵A=[−102i35−10120−17−i2−4] \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & i \\ 3 & 5 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 7 & -i & 2 & -4 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡−1317052−i2−102i0−1−4⎦⎥⎥⎤i²=-1,计算||A||₁,||A||∞。如果x=(-1 2 0 -i)T,计算||Ax||₁和||Ax||∞
解：先求A的1范数就是||A||₁，就是计算矩阵的每列模的和，最后取最大值。意思就是对于矩阵A第一列的每个元素模的和为12，第二列每个元素模的和为8，第三列每个元素模的和为5，第四列每个元素模的和为6，则||A||₁=max(12 8 5 6)=12
求A的无穷范数||A||∞，就是计算每行模的和，最后取最大值。意思就是对于矩阵A第一行的每个元素模的和为4，第二行每个元素模的和为9，第三行每个元素模的和为4，第四行每个元素模的和为14，则||A||∞=max(4 9 4 14)=14
因为：Ax=
[−102i35−10120−17−i2−4]
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 2 & i \\
3 & 5 & -1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & -1 \\
7 & -i & 2 & -4
\end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎡−1317052−i2−102i0−1−4⎦⎥⎥⎤乘以[−120−i]
\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
0 \\
-i
\end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎡−120−i⎦⎥⎥⎤
得到矩阵[273+i−7+2i]
\begin{bmatrix}
2 \\
7 \\
3+i \\
-7+2i
\end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎡273+i−7+2i⎦⎥⎥⎤
对这个得到的新的矩阵和上面的求法一样||Ax||₁=9+√￣10+√￣53，||Ax||∞=max(2 7 √￣10 √￣53)=√￣53
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