Bezier曲线曲面–拟合应用

1.Bezier曲线

1.1.Bezier曲线的定义

给定一组控制点 P_0, P_1, …, P_n，其中 n 是曲线的阶数，Bezier曲线的参数方程可以表示为：
$$B(t)=\sum _{i=0}^n{P}_i{b}_{i,n}(t),t\in [0,1]$$

$$其中，b_{i,n}(t)是Bernstein基函数，定义为：$$

$$b_{i,n}(t)=C(n,i)t^i(1-t{)}^{n-i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}{t}^i(1-t{)}^{n-i}$$

这里，C(n, i) 是组合数，表示从 n 个不同元素中选择 i 个的组合数。

常见的Bezier曲线

• 二次Bezier曲线：由三个控制点定义，参数方程为：

$$B(t)=(1-t{)}^2{P}_0+2t(1-t)P_1+t^2{P}_2,t\in [0,1]$$

• 三次Bezier曲线：由四个控制点定义，是最常用的形式，参数方程为：

$$B(t)=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2(1-t)P_2+t^3{P}_3,t\in [0,1]$$

1.2.Bernstein基函数性质

定义：给定一个参数( t )，其中( 0 <= t <= 1 )，以及一个正整数( n )，Bernstein基函数定义为：
$$B_{i,n}(t)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)t^i(1-t{)}^{n-i}\text{for}i=0,1,2,...,n$$
其中:
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)是组合数，表示从n个元素中选择i个的组合数。$$
性质：

1.非负性：对于所有的( t )和( i )：
$$B_{i,n}(t)\ge 0;$$
2.归一化：Bernstein基函数的和为1，即：
$$\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(t)=1$$
这一性质使得Bernstein基函数在多项式插值和曲线设计中非常有用，因为它们可以保证在参数空间中的归一化。3.端点性质：Bernstein基函数在端点( t = 0 )和( t = 1 )具有特殊的性质。具体来说：
$$B_{0,n}(0)=1和B_{n,n}(1)=1，所有其他B_{i,n}(0)和B_{i,n}(1)均为0。$$
4.对称性：Bernstein基函数具有对称性，即：
$$B_{i,n}(t)=B_{n-i,n}(1-t);这意味着它们在参数空间中是对称的。$$
5.递归性质：Bernstein基函数可以通过德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s algorithm）递归地求解，这是一种计算Bézier曲线上的点的高效方法。

6.凸包性质：Bernstein多项式定义的曲线或曲面始终位于其控制点的凸包内，这保证了曲线或曲面的整体形状。

7.连续性和可微性：Bernstein基函数及其导数在( t )的整个定义域内都是连续的，这保证了它们定义的曲线或曲面具有良好的光滑性。

1.3.Bezier曲线的性质

1.参数化性质：
Bezier曲线是参数化的，这意味着它的形状由一系列控制点和一个参数(t)决定，其中(t)在0到1之间变化。曲线的形状不依赖于坐标系的选择。

2.凸包性质：
Bezier曲线始终位于其控制点的凸包内。这意味着曲线不会超出由控制点形成的凸多边形之外。这个性质有助于确保曲线的形状在预期的范围内。

3.仿射不变性：
Bezier曲线的形状在仿射变换下不变。这意味着如果对曲线的控制点进行仿射变换（如平移、旋转、缩放），则曲线的形状不变，只需将变换应用于控制点即可。

4.端点插值：
Bezier曲线的起点和终点分别与第一个和最后一个控制点重合。这意味着曲线的起点和终点是固定的，它们分别位于第一个和最后一个控制点上。

5.切线性质：
在Bezier曲线的起点和终点处，曲线的切线分别与第一个和最后一个控制点形成的线段一致。这可以通过计算曲线在这些点的导数来证明。可以进一步证明，起点，终点处r阶导数只与r+1个相邻控制点有关。

6.控制点的权重：
Bezier曲线的形状受到控制点的位置影响，控制点离曲线越远，其对曲线形状的影响越小。这种影响是通过Bernstein多项式来实现的，它是Bezier曲线表达式的一部分。

7.连续性：
如果控制点被适当地选择，Bezier曲线可以具有很高的连续性，如(C^{0)（点连续）、(C}1)（切线连续）和(C^2)（曲率连续）等。这使得Bezier曲线非常适合用于平滑的曲线和曲面设计。

1.4.Bezier曲线的几何作图法

下面详细介绍如何使用几何作图法来绘制二次和三次Bezier曲线。

二次Bezier曲线

二次Bezier曲线由三个控制点 ( P_0 ), ( P_1 ), ( P_2 ) 构成。曲线的定义如下：
$$B(t)=(1-t{)}^2{P}_0+2t(1-t)P_1+t^2{P}_2,0\le t\le 1$$
几何作图法的步骤：

1.连接 ( P_0 ) 和 ( P_1 ) 以及 ( P_1 ) 和 ( P_2 )。

2.在 ( P_0 ) 到 ( P_1 ) 的连线上，取一点 ( Q_0 )，使得 ：
$$P_0{Q}_0=t\cdot P_0{P}_1;$$
3.在 ( P_1 ) 到 ( P_2 ) 的连线上，取一点 ( Q_1 )，使得：
$$P_1{Q}_1=t\cdot P_1{P}_2;$$
4.连接 ( Q_0 ) 和 ( Q_1 )，并在其上取一点 ( B(t) )，使得 ：
$$Q_{0}B(t)=t\cdot Q_0{Q}_1;$$
5.当 ( t ) 从 ( 0 ) 变化到 ( 1 ) 时，( B(t) ) 的轨迹即为二次Bezier曲线。

三次Bezier曲线

三次Bezier曲线由四个控制点 ( P_0 ), ( P_1 ), ( P_2 ), ( P_3 ) 构成。曲线的定义如下：
$$B(t)=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2(1-t)P_2+t^3{P}_3,0\le t\le 1;$$
几何作图法的步骤：

1.连接 ( P_0 ) 和 ( P_1 ), ( P_1 ) 和 ( P_2 ), 以及 ( P_2 ) 和 ( P_3 )。

2.在 ( P_0 ) 到 ( P_1 ) 的连线上，取一点 ( Q_0 )，使得 ：
$$P_0{Q}_0=t\cdot P_0{P}_1;$$
3.在 ( P_1 ) 到 ( P_2 ) 的连线上，取一点 ( Q_1 )，使得：
$$P_1{Q}_1=t\cdot P_1{P}_2;$$
4.在 ( P_2 ) 到 ( P_3 ) 的连线上，取一点 ( Q_2 )，使得：
$$P_2{Q}_2=t\cdot P_2{P}_3;$$
5.连接 ( Q_0 ) 和 ( Q_1 )，并在其上取一点 ( R_0 )，使得：
$$Q_0{R}_0=t\cdot Q_0{Q}_1;$$
6.连接 ( Q_1 ) 和 ( Q_2 )，并在其上取一点 ( R_1 )，使得 ：
$$Q_1{R}_1=t\cdot Q_1{Q}_2;$$
7.连接 ( R_0 ) 和 ( R_1 )，并在其上取一点 ( B(t) )，使得：
$$R_{0}B(t)=t\cdot R_0{R}_1;$$
8.当 ( t ) 从 ( 0 ) 变化到 ( 1 ) 时，( B(t) ) 的轨迹即为三次Bezier曲线。

2.Bezier曲面

Bezier曲面是计算机图形学中用于描述和渲染复杂曲面的一种数学模型。它是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）在20世纪60年代为汽车设计而开发的。Bezier曲面可以通过控制点来定义，这些控制点可以直观地调整曲面的形状。

基本概念

Bezier曲面通常是通过将两个Bezier曲线组合而成的。一个二维的Bezier曲面可以通过以下方式定义：

1. 控制点：
   $$\begin{gathered} 一组控制点（通常称为控制网格），这些点定义了曲面的形状。 \\ 对于一个n\times m的Bezier曲面，有(n+1)\times (m+1)个控制点。 \end{gathered}$$

2. 基函数：
   $$使用Bernstein多项式作为基函数，这些函数定义了每个控制点对曲面上特定点的影响。$$

3. 参数化：
   $$曲面通过两个参数u和v进行参数化，这两个参数在0到1之间变化。$$

数学表示

一个二维的Bezier曲面可以通过以下公式表示：

$$S(u,v)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{B}_{i,n}(u)B_{j,m}(v)P_{i,j}$$

其中：

• $$S(u,v)是曲面上参数为(u,v)的点。$$

• $$B_{i,n}(u)和B_{j,m}(v)是Bernstein基函数，定义为：$$

  $$B_{i,n}(u)=C(n,i)u^i(1-u{)}^{n-i}$$
  $$B_{j,m}(v)=C(m,j)v^j(1-v{)}^{m-j}$$

• $$P_{i,j}是控制点。$$

• $$C(n,i)是组合数，定义为：$$

  $$C(n,i)=\frac{n!}{i!(n-i)!}$$

展开示例

假定上述n为2，m为3，则S(u, v)展开式为：

计算Bernstein基函数

$$对于B_{i,2}(u)和B_{j,3}(v)，我们有：$$

• $$对于i=0,1,2，B_{i,2}(u)的表达式为：$$

  $$B_{0,2}(u)=C(2,0)u^0(1-u{)}^2=(1-u{)}^2$$
  $$B_{1,2}(u)=C(2,1)u^1(1-u{)}^1=2u(1-u)$$
  $$B_{2,2}(u)=C(2,2)u^2(1-u{)}^0=u^2$$

• $$对于j=0,1,2,3，B_{j,3}(v)的表达式为：$$

  $$B_{0,3}(v)=C(3,0)v^0(1-v{)}^3=(1-v{)}^3$$
  $$B_{1,3}(v)=C(3,1)v^1(1-v{)}^2=3v(1-v{)}^2$$
  $$B_{2,3}(v)=C(3,2)v^2(1-v{)}^1=3v^2(1-v)$$
  $$B_{3,3}(v)=C(3,3)v^3(1-v{)}^0=v^3$$

展开公式

将Bernstein基函数代入原公式，展开并计算：

$$S(u,v)=\sum _{i=0}^2\sum _{j=0}^3{B}_{i,2}(u)B_{j,3}(v)P_{i,j}$$

展开式：
$$\begin{gathered} =B_{0,2}(u)B_{0,3}(v)P_{0,0}+B_{0,2}(u)B_{1,3}(v)P_{0,1} \\ +B_{0,2}(u)B_{2,3}(v)P_{0,2}+B_{0,2}(u)B_{3,3}(v)P_{0,3} \\ +B_{1,2}(u)B_{0,3}(v)P_{1,0}+B_{1,2}(u)B_{1,3}(v)P_{1,1} \\ +B_{1,2}(u)B_{2,3}(v)P_{1,2}+B_{1,2}(u)B_{3,3}(v)P_{1,3} \\ +B_{2,2}(u)B_{0,3}(v)P_{2,0}+B_{2,2}(u)B_{1,3}(v)P_{2,1} \\ +B_{2,2}(u)B_{2,3}(v)P_{2,2}+B_{2,2}(u)B_{3,3}(v)P_{2,3} \end{gathered}$$
具体为：
$$\begin{gathered} =(1-u{)}^2(1-v{)}^3{P}_{0,0}+(1-u{)}^{2}3v(1-v{)}^2{P}_{0,1} \\ +(1-u{)}^{2}3v^2(1-v)P_{0,2}+(1-u{)}^2{v}^3{P}_{0,3} \\ +2u(1-u)(1-v{)}^3{P}_{1,0}+2u(1-u)3v(1-v{)}^2{P}_{1,1} \\ +2u(1-u)3v^2(1-v)P_{1,2}+2u(1-u)v^3{P}_{1,3} \\ +u^2(1-v{)}^3{P}_{2,0}+u^{2}3v(1-v{)}^2{P}_{2,1} \\ +u^{2}3v^2(1-v)P_{2,2}+u^2{v}^3{P}_{2,3} \end{gathered}$$
总结：
$$\begin{gathered} 这就是Bezier曲面公式S(u,v)的展开形式，其中P_{i,j}是控制点。 \\ 这个公式描述了一个由16个控制点定义的2\ast 3的Bezier曲面，其中u和v在[0,1]范围内变化。 \end{gathered}$$