• 因为梯度的概念是基于方向导数的概念与计算，所以首先要理解方向导数。

一、方向导数

个人认为对于方向导数的理解可基于偏导数的理解进行延申

对偏导数的理解

以二元函数$z=f(x,y)$为例，进行直观理解：

• 偏导数：函数上某一点$(x_0,y_0)$在x与y这两个方向上各自的变化情况，即：
  $x$的偏导：${f_x}^{\prime }(x_o,y_0)$为函数在$x$这一个方向上的变化情况
  $y$的偏导：${f_y}^{\prime }(x_o,y_0)$为函数在$y$这一个方向上的变化情况
  这里重点强调了“一个方向”，即两个偏导数仅对应两个坐标轴的方向

延申：对方向导数的理解

方向导数相对于偏导数，可表示包含$x$轴与$y$轴两个方向在内的沿任意方向的变化情况

任意方向：只要一个方向导数存在，就认为此处方向导数存在
但偏导数仅限于$x$与$y$轴方向的方向导数都存在才被认为存在
由此可得：函数在某一点的方向导数存在时，其偏导数不一定存在（例如$z=\sqrt{x^2+y^2}在(0,0)点处$）

仍然以$(x_0,y_0)$这个点为例：
将这个点投影到$xoy$平面上，将其沿$L$这个方向移动，距离为$t$，得到一个向量
设该向量与$x$轴方向夹角（向量方向顺时针）为$\alpha$，与$y$轴方向夹角（向量方向逆时针）为$\beta$
由此得到$f(x,y)$的参数方程：
$$\begin{array}{c}f(x,y)=\{\begin{array}{c}x=x_0+t\cdot con\alpha \\ y=y_0+t\cdot con\beta \end{array}\end{array}$$
基于此此参数方程，根据导数的定义，得到方向导数的表达式：
$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(y_0+tcos\beta ,x_0+tcos\alpha )-f(y_0,x_0)}{t}=\frac{\partial f}{\partial L}{|}_{(x_0,y_0)}$$
如果沿$x$或$y$轴方向，即(1,0)与(0,1)方向，带入发现上式直接转化为了$x$与$y$的偏导数定义表达式
读者可自行尝试

方向导数的计算

法一：根据定义求，繁琐
法二：根据定理：

$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$可微，则方向导数存在，且：
$$\frac{\partial f}{\partial L}{|}_{(x_0,y_0)}={f_x}^{\prime }(x_o,y_0)cos\alpha +{f_y}^{\prime }(x_o,y_0)cos\beta$$

二、梯度

定义

由方向导数的表达式：
$$\frac{\partial f}{\partial L}{|}_{(x_0,y_0)}={f_x}^{\prime }(x_o,y_0)cos\alpha +{f_y}^{\prime }(x_o,y_0)cos\beta$$将${f_x}^{\prime }(x_o,y_0)cos\alpha +{f_y}^{\prime }(x_o,y_0)cos\beta$改写为数量积形式，即两向量相乘的形式：
$${f_x}^{\prime }(x_o,y_0)cos\alpha +{f_y}^{\prime }(x_o,y_0)cos\beta =({f_x}^{\prime }(x_o,y_0)\cdot {f_y}^{\prime }(x_o,y_0))\cdot (cos\alpha \cdot cos\beta )$$(数量积公式：a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2)

前半部分即为梯度的表达式，即：
$\nabla f(x_0,y_0)=gradf(x_0,y_0)=({f_x}^{\prime }(x_o,y_0)\cdot {f_y}^{\prime }(x_o,y_0))$

注：方向导数是个数，梯度是个向量！！

将梯度表达式代回方向导数的表达式，可得：
$$\frac{\partial f}{\partial L}{|}_{(x_0,y_0)}=gradf(x_0,y_0)\cdot (cos\alpha \cdot cos\beta )$$将$(cos\alpha \cdot cos\beta )$视为单位向量$e_l$，基于数量积公式，有：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial L}{|}_{(x_0,y_0)}=& |gradf(x_0,y_0)|\cdot e_l\\ =& |gradf(x_0,y_0)|\cdot con\theta \end{array}$$当$\theta =0$时，可得：
$$\frac{\partial f}{\partial L}{|}_{(x_0,y_0)}=|gradf(x_0,y_0)|$$因此，由上式可得：梯度的方向为函数在某一点方向导数值最大时的那个方向，梯度的模即为此时的方向导数值