1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。

目前，李雅普诺夫理论是证明非线性系统稳定性的重要理论依据，也是设计控制算法的重要方法之一。

这里介绍李雅普诺夫直接法（第二法）

基础知识

1、二次型定义及其表达式

形如

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1"> f(x,y)= ax^2 + 2bxy + cy^2 </script>，每项的次数都是2。矩阵表示为：
<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-2">V(x_1,x_2, \cdots , x_n)=[x_1,x_2,\cdots,x_n] \begin{bmatrix} p_{11},&p_{12},& \dots, &p_{1n} \\ p_{21},& p_{22},& \dots, & p_{2n} \\ \cdots ,& \cdots, & \cdots, & \cdots \\ p_{n1},&p_{n2},& \dots, &p_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x^T P x</script>
其中，P<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">P</script> 为对称矩阵。

2、（二次型）V(x) 判据

（1）、 V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-92">V(x) </script>正定的充分必要条件是矩阵 P<script type="math/tex" id="MathJax-Element-93"> P </script>的所有主子式行列式为正。
（2）、若 P<script type="math/tex" id="MathJax-Element-94">P </script> 是奇异矩阵，且它的所有主子式行列式均非负，则 V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-95">V(x) </script> 为半正定的。
（3）、如果矩阵 P<script type="math/tex" id="MathJax-Element-96"> P </script>的奇数阶主子行列式为负值，偶数阶主子行列式为正值，则其为负定的。
（4）、若 P<script type="math/tex" id="MathJax-Element-97">P </script> 正定，则对于任意 x≠0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-98">x \neq 0 </script>, 总有 V(x)>0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-99"> V(x) > 0 </script>。

3、任意 V(x) 判据

（1）、则对于任意 x≠0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">x \neq 0 </script>, 总有 Q(x)=xTQx>0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13"> Q(x) =x^T Q x> 0 </script> ，则称 Q(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">Q(x)</script> 为正定函数。
（2）、则对于任意 x<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15"> x </script>, 总有 Q(x)=xTQx≥0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-16"> Q(x) =x^T Q x \geq 0 </script> ， 且存在 x≠0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">x \neq 0</script> ，使 Q(x)=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">Q(x) =0 </script>，则称 Q(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">Q(x)</script> 为半 正定函数。
（3）、若 −Q(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">-Q(x)</script> 为（半）正定函数，则 Q(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">Q(x)</script> 为（半）负定函数

稳定性定理

一、稳定性定义

1、对系统 x˙=f(x,t)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">\dot x = f(x,t) </script>,若任意给定一个实数 ϵ>0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-23"> \epsilon > 0</script>，总存在另一个实数δ(ϵ,t0)>0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-24"> \delta (\epsilon,t_0)>0 </script> ，使当 初始条件 ||x（t0)||<δ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-25">|| x（t_0) || < \delta </script> 时，系统的状态 ||x（t）||<δ，∀t≥to<script type="math/tex" id="MathJax-Element-26"> ||x（t）||< \delta ，\forall t \geq t_o </script> , 则称系统的平衡状态xs<script type="math/tex" id="MathJax-Element-27">x_s</script> 是稳定的。否则，就是不稳定的。
2、一致稳定性
如果系统的平衡状态是稳定的，且 δ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-28">\delta</script> 与t0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">t_0</script> 无关，（若任意给定一个实数 ϵ>0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-30"> \epsilon > 0</script>，总存在另一个实数δ(ϵ)>0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-31"> \delta (\epsilon)>0 </script> ，使当 初始条件 ||x（t0)||<δ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-32">|| x（t_0) || < \delta </script> 时，系统的状态 ||x（t）||<δ，∀t≥to<script type="math/tex" id="MathJax-Element-33"> ||x（t）||< \delta ，\forall t \geq t_o </script> ），则该平衡状态是一致稳定的。
若定常系统的平衡状态是稳定的，则一定是一致稳定的。

3、渐近稳定性
若 xe<script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">x_e</script>是系统的一个稳定点，对任意 t0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-35">t_0</script>，存在正常数
δ(t0)∈R+<script type="math/tex" id="MathJax-Element-36"> \delta(t_0) \in R^+ </script>，当 x(t0)<δ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-37"> x(t_0) < \delta </script>， 系统的状态收敛于0，即

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-38"> \lim\limits_{t\rightarrow{\infty}} ||x-x_e||=0 </script>
则系统是渐进稳定的。

4、指数稳定性
对一个系统而言，如果存在正常数 α,λ∈R+<script type="math/tex" id="MathJax-Element-39"> \alpha,\lambda \in R^+ </script>，当初始位置在以原点为中心的球域范围内，即 x(t0)∈Br(o,r)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-40">x(t_0) \in B_r(o,r) </script> 时，系统的状态x(t)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-41">x(t)</script>具有以下的包络线:

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-42">||x(t)|| \leq ||x(t_0)|| e^{- \lambda (t-t_0)}</script> ,则称平衡点 xs=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-43">x_s =0</script> 是指数稳定的，其中正常数 λ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-44"> \lambda </script> 称为指数收敛率。

二、稳定性定理

李雅普诺夫第二法是从能量的观点出发得来的。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少到最小，那么这个系统是渐近稳定的。

1、局部稳定性定理
设x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-45"> x=0 </script>是系统的平衡点，如果对于球域 BR<script type="math/tex" id="MathJax-Element-46">B_R </script>，存在一个标量函数 V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-47">V(x)</script> ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-48"> V(x) </script>在球域BR<script type="math/tex" id="MathJax-Element-49"> B_R </script>上是正定的
（2）、若函数 V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-50">V(x) </script>关于时间的导数在球域BR<script type="math/tex" id="MathJax-Element-51"> B_R</script> 上是半负定的，则平衡点x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-52"> x=0 </script>是局部稳定的
（3）、若函数V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-53"> V(x) </script>关于时间的导数在球域 BR<script type="math/tex" id="MathJax-Element-54">B_R </script>上是负定的，则平衡点 x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-55">x=0 </script>是局部渐近稳定的

2、全局稳定性定理

设x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-56"> x=0 </script>是系统的平衡点，存在一个标量函数 V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-57">V(x)</script> ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-58"> V(x) </script> 是正定的
（2）、 V(x) 正则，即当 ||x||→∞<script type="math/tex" id="MathJax-Element-59"> ||x|| \rightarrow \infty </script> 时， V(x)→∞<script type="math/tex" id="MathJax-Element-60"> V(x) \rightarrow \infty </script> 。
（3）、若函数 V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-61">V(x) </script>关于时间的导数是半负定的，则平衡点x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-62"> x=0 </script>是全局稳定的
（4）、若函数V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-63"> V(x) </script>关于时间的导数是负定的，则平衡点 x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-64">x=0 </script>是全局渐近稳定的

3、全局指数稳定性定理
设x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-65"> x=0 </script>是系统的平衡点，存在一个标量函数 V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-66">V(x)</script> ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-67"> V(x) </script> 是正定的
（2）、 V(x) 正则，即当 ||x||→∞<script type="math/tex" id="MathJax-Element-68"> ||x|| \rightarrow \infty </script> 时， V(x)→∞<script type="math/tex" id="MathJax-Element-69"> V(x) \rightarrow \infty </script> 。
（3）、若函数 V(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-70">V(x) </script>关于时间的导数是半负定的
（4）、存在两个正数λ1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-71">\lambda_1</script> 和λ2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-72">\lambda_2</script> ，分别使得

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-73">V(x) \leq \lambda_1 ||x||^2, \dot V(x) \leq \lambda_2 ||x||^2</script>
则平衡点 x=0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-74">x=0 </script>是全局指数稳定的，指数收敛率为λ1λ2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-75">\frac {\lambda_1}{\lambda_2}</script>