一、欧氏距离（Euclidean Distance）

欧氏距离是最常见的距离度量之一，用于计算两个点之间的直线距离。

公式：

对于二维空间中的两个点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$：

$$d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

在 $n$ 维空间中($P_n(x_1,x_2,...,x_n)$;$Q_n(y_1,y_2,...,y_n)$)，计算公式为：
$$d(P,Q)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$$

注意是n维，而不是n个点，就是我们从初中到高中经常用到的距离公式！

原理：

• 计算两点间的直线最短路径。
• 适用于几何计算和机器学习中的距离计算。

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二、曼哈顿距离（Manhattan Distance）

曼哈顿距离度量的是沿坐标轴方向的距离，而非直线距离。

公式：

对于二维空间中的两个点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$：

$$d(P,Q)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$$

在 $n$ 维空间中，公式为：

$$d(P,Q)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|$$

原理：

• 适用于网格状城市（如曼哈顿街道）。
• 仅允许水平或垂直方向的移动。
  

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三、切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

切比雪夫距离计算的是最大坐标轴差异，适用于棋盘格场景。

公式：

对于二维空间中的两个点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$：

$$d(P,Q)=\max (|x_2-x_1|,|y_2-y_1|)$$

在 $n$ 维空间中，公式为：

$$d(P,Q)=\underset{i=1}{\overset{n}{\max }}|x_i-y_i|$$

原理：

• 适用于国际象棋中的国王移动（八个方向）。
• 计算最短步数时较为常见。

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四、闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）

闵可夫斯基距离是欧氏距离和曼哈顿距离的广义形式，通过调整参数 $p$ 来控制计算方式。

公式：

对于 $n$ 维空间中的两个点：

$$d(P,Q)={\left(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$

• 当 $p=1$ 时，闵可夫斯基距离等于曼哈顿距离。
• 当 $p=2$ 时，闵可夫斯基距离等于欧氏距离。

原理：

• 适用于灵活调整不同计算方式的场景。
• 通过改变 $p$ 值，可适配不同任务。

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五、马氏距离（Mahalanobis Distance）

马氏距离是一种考虑数据分布的距离度量方式，它不仅计算点之间的距离，还考虑变量的协方差关系。

公式：

对于两个点 $P$ 和 $Q$，马氏距离定义为：

$$d(P,Q)=\sqrt{(P-Q{)}^T{\Sigma }^{-1}(P-Q)}$$

其中：

• ${\Sigma }^{-1}$ 为数据的协方差矩阵的逆。

原理：

• 适用于多维数据分析，考虑特征之间的相关性。
• 常用于异常检测和**主成分分析（PCA）**等领域。

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不同的距离度量方法适用于不同的任务场景，选择合适的距离计算方式能提高算法的效果！