常用拉普拉斯变换

基本性质性质公式表示线性定理-齐次性L[af(t)]=aF(s)L[af(t)]=aF(s)L[af(t)]=aF(s)线性定理-叠加性L(f1(t)±f2(t))=F1(s)±F2(s)L(f_1(t)\pm f_2(t))=F_1(s)\pm F_2(s)L(f1(t)±f2(t))=F1(s)±F2(s)微分定理-一阶导L[df(t)dt]...

tomeasure

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tomeasure · 2020-05-08 12:44:39 发布

基本性质

性质	公式表示
线性定理 - 齐次性	$L [a f (t)] = a F (s)$
线性定理 - 叠加性	$L(f1(t)±f2(t))=F1(s)±F2(s)L(f_1(t)\pm f_2(t))=F_1(s)\pm F_2(s)$
微分定理 - 一阶导	$L[df(t)dt]=sF(s)−f(0)L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$
微分定理 - 二阶导	$L[d2f(t)dt2]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)L[\frac{d^2f(t)}{dt^2}]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$
微分定理 - n阶导	$L[dnf(t)dtn]=snF(s)−∑k=1nsn−kfk−1(0)L[\frac{d^n f(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{k-1}(0)$
微分定理	$L[tf(t)]=−ddsF(s)L[tf(t)]=-\frac{d}{ds}F(s)$
积分定理 - 一阶导	$L[∫f(t)dt]=F(s)s+[∫f(t)dt]t=0sL[\int f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}+\frac{[\int f(t)dt]_{t=0}}{s}$
积分定理 - 二阶导	$L[∬f(t)(dt)2]=F(s)s2+[∫f(t)dt]t=0s2+[∬f(t)(dt)2]t=0sL[\iint f(t)(dt)^2]=\frac{F(s)}{s^2}+\frac{[\int f(t)dt]_{t=0}}{s^2}+\frac{[\iint f(t)(dt)^2]_{t=0}}{s}$
积分定理 - n阶导	$L[∫…∫⏞nf(t)(dt)n]=F(s)sn+∑k=1n[∫…∫⏞kf(t)(dt)k]t=0sn−k+1L[\overbrace{\int \dotso \int}^{n}f(t)(dt)^n]=\frac{F(s)}{s^n}+\sum_{k=1}^n\frac{[\overbrace{\int \dotso \int}^{k}f(t)(dt)^k]_{t=0}}{s^{n-k+1}}$
延迟定理	$L[f(t-T)1(t-T)]=e^{-Ts}F(s)$
衰减定理	$L[f(t)e^{-at}]=F(s+a)$
终值定理	$lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\lim\limits_{t \to \infty}f(t)=\lim\limits_{s \to 0}sF(s)$
初值定理	$lim⁡t→0f(t)=lim⁡s→∞sF(s)\lim\limits_{t \to 0}f(t)=\lim\limits_{s \to \infty}sF(s)$
卷积定理	$L[∫0tf1(t−τ)f2(τ)dτ]=F1(s)F2(s)L[\int_{0}^{t}f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau]=F_1(s)F_2(s)$
尺度定理	$L[f(at)]=1∣a∣f(sa)L[f(at)]=\frac{1}{\vert a\vert}f(\frac{s}{a})$

常用函数的变换

时间函数	变换后	时间函数	变换后
$δ(t)\delta(t)$	1	$1-e^{-at}$	$as(s+a)\frac{a}{s(s+a)}$
$δT(t)=∑n=0∞δ(t−nT)\delta_T(t)=\sum_{n=0}^\infty\delta(t-nT)$	$11−e−Ts\frac{1}{1-e^{-Ts}}$	$e^{-at}-e^{-bt}$	$b−a(s+a)(s+b)\frac{b-a}{(s+a)(s+b)}$
$1 (t)$	$1s\frac{1}{s}$	$sin⁡ωt\sin \omega t$	$ωs2+ω2\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$t$	$1s2\frac{1}{s^2}$	$cos⁡ωt\cos \omega t$	$ss2+ω2\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$t22\frac{t^2}{2}$	$1s3\frac{1}{s^3}$	$e−atsin⁡ωte^{-at}\sin \omega t$	$ω(s+a)2+ω2\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$
$tnn\frac{t^n}{n}$	$1sn+1\frac{1}{s^{n+1}}$	$e−atcos⁡ωte^{-at}\cos \omega t$	$s+a(s+a)2+ω2\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$
$e^{-at}$	$1s+a\frac{1}{s+a}$	$a^{t/T}$	$1s−(1/t)ln⁡a\frac{1}{s-(1/t)\ln a}$
$te^{-at}$	$1(s+a)2\frac{1}{(s+a)^2}$

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