目录

前言

物理模拟简单公式说明

PINN 

简单理解

具体公式理解

文章section3. data-driven solutions of partial differential equations

Continuous time models

Specific Example-流体模拟

Other Info

Reference

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前言

物理模拟简单公式说明

• 物理模拟可以简单看做不停在解 这个方程（称之为Governing Equations）-->求a

(其中F(force)：某一个粒子的受力(假设已知—— 一般通过deformation得到)；m(mass)：某一个particle的质量（假设已知—— 一般通过m=ρV(ρ:density;V:volume)）；a(acceleration)：表示某一个particle的加速度（未知数）)

• 对于每一个particle会去track其state

这里简单用position以及velocity来描述state，即：  (x: 三维坐标，v: velocity)

• position——x:当前时刻和上一时刻的坐标关系可以看做：
• velocity——v:如下图的蓝色公式：

所以v是关于t的一阶导数，a是关于t的二阶导数

Steps: 知道这个时刻的加速度a-->能得到这个时刻的速度v-->知道这个时刻的速度，即能算出下个时刻的位移。

Recap一些公式补充：

（匀速运动）

匀速直线运动的质点坐标: 

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（变速运动）

1. 变速运动速度: 

2. 变速运动质点坐标: 

3. 速度随坐标变化公式： 

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PINN 

PINN的seminal paper来自于2019年的这篇文章👇🏻

 文章Link: https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0021999118307125

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简单理解

根据上面简单的一些公式说明，我们意识到是在不停地解F=ma这个方程，那么可以变成一个解 这个公式，即做minimization下面:

 

不断缩小F-ma，逼近求得一个a满足F-ma=0

这个就可以用neural network来模拟，即loss function。

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具体公式理解

（解读PINN文章的一些重点内容）

根据前言的小知识，我们可以明白在文章2. Problem setup 公式(1):

从high-level来看即F=ma（F-ma=0），这里整理成的形式是一个关于时间的偏微分方程 partial differential equations(PDE)

文章section3. data-driven solutions of partial differential equations

从文章3开始，上面的（1）公式可以写成更简单的形式如下图：

Continuous time models

3.1对上面的图片中红框标出的公式（2）进行了简化。

• 物理模拟的loss regulate: f为F-ma，其中MSEf即对应：
• 数据分布loss regulate这一项是：假设有一些supervision的data，即一些真实的观测数据，与neural network approximate出的的数据，进行mse

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Specific Example-流体模拟

在文章的4.1.1节给了流体模拟的example来进一步说明PINN，本质上还是F=ma

1.  流体模拟中，有两个量需要track，即pressure & velocity -->所以公式（15）是两个公式。
2. 公式（18）把公式（15）整理了一下，变成了右端项为0的方程组形式（解方程组--neural network来帮忙-->公式（19）Loss）

可以注意到公式（19）的MSE loss中的"＋号"右边部分，同样是F-ma L2 norm的形式(物理模拟)；"＋号"左边的部分，同样是有些观测数据然后数据上的regulate loss。

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Other Info

如何将显示方程整理成PDE，以F=ma为例，可以考虑如下Steps:

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Reference

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