先说结论：

$x = a + jb = \sqrt {​{a^2} + {b^2}} {e^{j\angle \varphi }}$

其中幅值为

$\left| x \right| = \sqrt {​{a^2} + {b^2}} $     

相角为

$\angle \varphi = \left\{ \begin{array}{l} \arctan \frac{b}{a}{\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\\ \pi + \arctan \frac{b}{a}{\rm{ }}\left( {a < 0} \right) \end{array} \right.$

很多小伙伴会问：我们为什么要对实部分a>0和a<0两种情况，为什么不是仅仅考虑a>0的情况呢？

那我们来举个例子：X = 2 + j2 和 Y = -2 - j2 对他们都利用arctan(b/a)进行计算

$\angle {\varphi _X} = \arctan \frac{2}{2} = \arctan 1 = \frac{\pi }{4}$

$\angle {\varphi _Y} = \arctan \frac{​{ - 2}}{​{ - 2}} = \arctan 1 = \frac{\pi }{4}$

按照这个算出来的结果完全一致，那这两个复数的相角真的相同吗？我们在图中对这两个复数进行表示，如下图所示（绿色代表X的相角，红色代表Y的相角）

很显然X和Y的相角并不相同，那问题出在哪里了呢？

这里我们需要知道arctan函数的值域是在 $\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$ 的，如下图所示

所以利用arctan函数求出来的仅仅能表示第一、四象限的复数，无法表示第二、三象限的复数。

那么接下来我们就分成四个象限分别求相角。

① 第一象限（a>0，b>0）：

$\tan \theta = \frac{b}{a} \Rightarrow \theta = \arctan \frac{b}{a}$

$\therefore \angle \varphi = \arctan \frac{b}{a}$

② 第二象限（a<0，b>0）:

$\tan {\theta _1} = \frac{b}{a} \Rightarrow {\theta _1} = \arctan \frac{b}{a}$

   \because \frac{b}{a}<0 ，根据arctan的图像

   $\therefore {\theta _1}$ 为负角度

   再结合图像可得到

$\theta = \pi + {\theta _1} = \pi + \arctan \frac{b}{a}$

$\therefore \angle \varphi = \pi + \arctan \frac{b}{a}$

③ 第三象限（a<0，b<0）：

$\tan {\theta _1} = \frac{b}{a} \Rightarrow {\theta _1} = \arctan \frac{b}{a}$

   \because \frac{b}{a}>0 ，根据arctan的图像

   $\therefore {\theta _1}$ 为正角度

   再结合图像可得到

$\theta = \pi + {\theta _1} = \pi + \arctan \frac{b}{a}$

$\therefore \angle \varphi = \pi + \arctan \frac{b}{a}$

④ 第四象限（a>0，b<0）：

$\tan \theta = \frac{b}{a} \Rightarrow \theta = \arctan \frac{b}{a}$

$\therefore \angle \varphi = \arctan \frac{b}{a}$

综上

      第一象限时：（a>0，b>0）

$\angle \varphi = \arctan \frac{b}{a}$

      第二象限时：（a<0，b>0）

$\angle \varphi = \pi + \arctan \frac{b}{a}$

      第三象限时：（a<0，b<0）

$\angle \varphi = \pi + \arctan \frac{b}{a}$

      第四象限时：（a>0，b<0）

$\angle \varphi = \arctan \frac{b}{a}$

即

$\angle \varphi = \left\{ \begin{array}{l} \arctan \frac{b}{a}{\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\\ \pi + \arctan \frac{b}{a}{\rm{ }}\left( {a < 0} \right) \end{array} \right.$

创作不易，转载请标明出处，希望小伙伴点赞收藏＋关注，后续还会更新【信号与系统】方面的其它知识点！！

# 抽象代数
Logo
2048 AI社区

有“AI”的1024 = 2048，欢迎大家加入2048 AI社区

更多推荐

毕设成品 stm32与深度学习口罩佩戴检测系统(源码+硬件+论文)

本文介绍了一个基于STM32与深度学习的口罩佩戴检测系统，该系统通过PC端摄像头实时检测人脸口罩佩戴情况，并将结果通过WiFi传输至STM32控制器进行显示和报警。系统硬件包括STM32开发板、蜂鸣器、WiFi模块和液晶屏。软件部分采用深度学习模型训练（准确率达97%），结合TCP通信实现上下位机交互。系统能准确识别佩戴口罩、未佩戴及不正确佩戴三种状态，并触发相应报警功能。该项目创新性地结合嵌入式

avatar 2048 AI社区

010-网络命令与工具

网络诊断命令与工具摘要 本文介绍了网络管理员常用的诊断命令和工具，主要包括ping、traceroute等基本连通性测试工具，以及netstat、tcpdump等高级分析工具。文章详细讲解了ping命令的语法、使用示例和结果分析方法，并提供了Python脚本实现ping结果自动解析与质量评估。同时解释了traceroute的工作原理，通过Mermaid图展示了其追踪网络路径的机制。这些工具能有效诊

avatar 2048 AI社区

2025量子计算算法爆发趋势

量子神经网络（QNN）架构趋向参数化量子电路设计，Google Quantum AI团队提出的TFQ框架支持梯度下降优化，在图像分类任务中实现98%的经典等效精度。变分量子算法（VQA）框架预计在化学模拟领域取得突破，IBM研究院正开发用于分子能级计算的量子-经典混合算法，精度可达化学精度（<1kcal/mol）。量子支持向量机（QSVM）在欺诈检测场景展现优势，使用特征映射将数据编码到量子态空间

avatar 2048 AI社区