为了引入离散傅里叶变换，首先需要依次推导：

1，周期函数的傅里叶级数形式：

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_0)e^{jn\omega_0t}

F(n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_T_0f(t)e^{-jn\omega_0t}dt

T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}

2，非周期函数的傅里叶变换：

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega

F(\omega)=\int_\infty f(t)e^{-j\omega t}dt

3，非周期函数的时域和频域抽样：

3.1时域抽样

函数p(t)和其频域函数P(w)：

p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)

P(\omega)=\omega_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega - n\omega_0)

根据频域卷积定理可以知道：

\mathbb{F}[f(t)p(t)]=\frac{1}{2\pi}F(\omega)*P(\omega)=\frac{\omega_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_0)

f(t)p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT_0)\delta(t-nT_0)

3.2频域抽样：

函数P(w)和其时域函数p(t)：

P(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega - n\omega_0)

p(t)=\frac{T_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)

根据时域卷积定理可以知道：

\mathbb{F}^{-1}[F(\omega)P(\omega)]=f(t)*p(t)=\frac{T_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t-nT_0)

F(\omega)P(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_0)\delta(\omega-n\omega_0)

4，时间序列的傅里叶变换

时间序列就是时域抽样之后的序列，过程如下：

X(e^{jw})=\int_\infty f(t)e^{-j\omega t}dt=\frac{\omega_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT_0)e^{-jn\omega T_0}T_0（因为时域抽样后频谱会放大\frac{\omega_0}{2\pi}倍，另外积分变为求和）

于是：

X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT_0)e^{-jn\omega T_0}

而时域信号表示如下：

x(nT_0)=\frac{1}{2\pi}\int_\infty F(e^{j\omega})e^{jn\omega T_0}d\omega

我们知道时域抽样之后，频谱周期化了，因此积分区间变为一个周期即可。

x(nT_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{\frac{2\pi}{T_0}} F(e^{j\omega})e^{jn\omega T_0}d\omega

但是上式表达仍然有点不准确，因为就频谱的幅度值来讲，抽样之后有如下关系：

X(e^{j\omega})=\frac{\omega_0}{2\pi}F(e^{j\omega})

因此做如下修正：

x(nT_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{\frac{2\pi}{T_0}} X(e^{j\omega})e^{jn\omega T_0} \frac{2\pi}{\omega_0}d{\omega}

化简之后，为了和周期函数的傅里叶级数对比，将后缀0改s，将正反变换对同时写在下面。

X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)e^{-jn\omega T_s}

x(nT_s)=\frac{T_s}{2\pi}\int_{\frac{2\pi}{T_s}} X(\omega)e^{jn\omega T_s}d\omega

频域周期\omega_s=\frac{2\pi}{T_s}

周期函数的傅里叶级数正反变换对如下：

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_0)e^{jn\omega_0t}

F(n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_T_0f(t)e^{-jn\omega_0t}dt

时域周期T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}

5，离散傅里叶变换终极演绎

在非周期序列的基础上在频域抽样可以得到周期离散序列

x(nT_s)=\frac{T_s}{2\pi}\int_{\frac{2\pi}{T_s}} X(k\omega_p)e^{jnk\omega_p T_s}d(k\omega_p)

因为频域函数的周期为\omega_s=\frac{2\pi}{T_s},所以抽样之后单周期里面的采样点为N=\frac{\omega_s}{\omega_p}，于是

x(nT_s)=\frac{T_s}{2\pi}\sum_{k=0}^{N-1}X(k\omega_p)e^{jnk\omega_p T_s}\omega_p=\frac{\omega_p}{\omega_s}\sum_{k=0}^{N-1}X(k\omega_p)e^{jnk\omega_p T_s}

X(k\omega_p)=\sum_{n=0}^{N-1}x(nT_s)e^{-jnk\omega_k T_s}

利用N化简上式

x(nT_s)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}X(k\omega_p)e^{jnk\frac{2\pi}{N}}

X(k\omega_p)=\sum_{n=0}^{N-1}x(nT_s)e^{-jnk\frac{2\pi}{N}}

记W_N=e^{-j(\frac{2\pi}{N})}，同时实际在计算机里面运算的时候，已经不关心T_s和\omega_p是多少了。因此上式可以记为：

x(n)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}X(k) W_N^{-nk}(逆变换）

X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}（正变换）

总结：有限长序列可以看成周期序列的主值序列，因此有限长序列的傅里叶变换对如上式。

6，离散傅里叶变换另一种推演

从周期信号f(t)的傅里叶级数系数开始

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_p)e^{jn\omega_pt}

F(n\omega_p)=\frac{1}{T_p}\int_T_pf(t)e^{-jn\omega_pt}dt

如果对f(t)进行抽样记为x(t)，那么可以知道

x(t)=f(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_s)

将上式代入周期函数的系数里面可以得到

X(n\omega_p)=\frac{1}{T_p}\int_T_pf(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_s)e^{-jn\omega_pt}dt

X(n\omega_p)=\frac{1}{T_p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{T_p+kT_s}f(t)\delta(t-kT_s)e^{-jn\omega_pt}dt

X(n\omega_p)=\frac{1}{T_p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kT_s)e^{-jnk\omega_pT_s}

因为就频谱的幅度值来讲，抽样之后有如下关系：

X(n\omega_p)=\frac{\omega_s}{2\pi}F(n\omega_p)=\frac{1}{T_s}F(n\omega_p)

所以可以得到

F(n\omega_p)=\frac{T_s}{T_p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kT_s)e^{-jnk\omega_pT_s}=\frac{1}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kT_s)e^{-jnk\omega_pT_s}

f(kT_s)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_p)e^{jnk\omega_pTs}

取一个周期0~N-1，化简可以得到变换对如下：

f(nT_s)=\sum_{k=0}^{N-1}F(k\omega_p)e^{jnk\frac{2\pi}{N}}

F(k\omega_p)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}f(nT_s)e^{-jnk\frac{2\pi}{N}}

记W_N=e^{-j(\frac{2\pi}{N})}，同时实际在计算机里面运算的时候，已经不关心T_s和\omega_p是多少了。因此上式可以记为：

f(n)=\sum_{k=0}^{N-1}F(k) W_N^{-nk}(逆变换）

F(k)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nk}（正变换）

结果发现两者变换系数1/N的位置，一个在时域，一个在频域。真正的原因是他们分别描述的是频谱密度函数和频谱函数，经常迷惑人。因为两个正变换或逆变换完全可以互相推导，所以使用哪一个公式都不会有影响。

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