1. 奇点 (Singularity)

奇点是复变函数在某一点附近无法解析的点。具体来说，假设函数 $f(z)$ 在某点 $z_0$ 的邻域内不是解析的，那么 $z_0$ 就是一个奇点。

奇点可以根据函数在该点附近的行为进一步分类为：

• 可去奇点 (Removable Singularity): 如果函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 附近的极限存在，且可以通过适当定义 $f(z_0)$ 使得 $f(z)$ 在该点解析，则该点是一个可去奇点。

  例如，$f(z)=\frac{\sin (z)}{z}$ 在 $z=0$ 处有可去奇点，因为
  $$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\sin (z)}{z}=1,$$
  可以定义 $f(0)=1$ 使得函数在该点解析。

• 本性奇点 (Essential Singularity): 如果函数在该点附近没有极限，且无法通过任何方式使函数在该点解析，则该点是本性奇点。对于本性奇点，函数的行为可能非常复杂，表现为无穷多的震荡或振荡。

  例如，$f(z)=e^{1/z}$ 在 $z=0$ 处有本性奇点。

2. 极点 (Pole)

极点是复变函数的一种特殊类型的奇点。假设函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处有极点，当 $z\to z_0$ 时，$f(z)$ 的模数趋向无穷大。具体来说，点 $z_0$ 是一个极点，当且仅当 $f(z)$ 在 $z_0$ 附近可以表示为：
$$f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0{)}^n},$$
其中 $g(z)$ 在 $z_0$ 处是解析的，且 $g(z_0)\ne 0$，$n$ 是一个正整数。这个表达式表示 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有一个阶为 $n$ 的极点。

• 如果 $n=1$，我们称 $z_0$ 为 简单极点。
• 如果 $n=2$，我们称 $z_0$ 为 二阶极点，以此类推。

例如，$f(z)=\frac{1}{z}$