问题描述

要计算下边电路中电容两端电压随时间变化。（根据戴维南定理，可以用一个独立电压源与电阻串联代替其他一般线性电路）

设初始条件为：

• $v_c(0)=V_0$，电容的初始电压。
• $v_i(t)=V_I$，直流电压源电压。

现在来看下 $t>0$ 之后的电容电压 $v_c(t)$ 随时间的变化。

数学推导

根据电容的伏安特性，有

$i=C\frac{dv}{dt}$

根据节点电压法可以写出这个电路的节点方程

$RC\frac{d{v}_c(t)}{dt}+v_c(t)=v_i(t)$

因为设定的初始条件 $ v_i(t) = V_I $

带入后，方程为：

$RC\frac{d{v}_c(t)}{dt}+v_c(t)=V_I$

我们的目的是解出 $v_c(t)$

这里使用求特解加齐次解的方法解这个微分方程

$v_c(t)=v_{cp}(t)+v_{ch}(t)$

$v_{cp}(t)$ ，特解

$v_{ch}(t)$ ，齐次解

下面是求解的具体的三个步骤：

1. 找到一个特殊解
2. 找出对应的齐次方程的通解
3. 根据初始条件，计算常数参数。

1.找特殊解

$RC\frac{d{v}_{cp}(t)}{dt}+v_{cp}(t)=V_I$

可以尝试 $v_{cp}=V_I$ ，带入微分方程中进行验证

因为常数的微分为 0， 所以上式为：

$ 0 + V_I = V_I$

等式成立，可以确定 $v_{cp}=V_I$ 是 $ v_c(t) $ 的一个特解，得到

$v_{cp}=V_I$ 。

2.计算齐次方程的通解

$RC\frac{d{v}_c(t)}{dt}+v_c(t)=V_I$ 对应的齐次方程为

$RC\frac{d{v}_{ch}(t)}{dt}+v_{ch}(t)=0$

因为 $\frac{d{e}^x}{dx}=e^x$

所以一般这种微分方程可以尝试使用 $v_{ch}(t)=A{e}^{st}$ 这种形式的通式来尝试，其中 $A、s$ 都为待确定参数，

带入验证，

$RC\frac{dA{e}^{st}}{dt}+A{e}^{st}=0$

可以化为

$RCAs{e}^{st}+A{e}^{st}=0$

这里舍去 $A=0$ 的解, 可以约掉 $A{e}^{st}$，化简为

$RCs+1=0$

即当 $s=-\frac{1}{RC}$ 时，$v_{ch}(t)=A{e}^{st}$ 成立。

将 $RC记为\tau$ ， 读作 tào，单位是时间

$v_{ch}(t)=A{e}^{-\frac{t}{\tau }}$

3.带入初始条件，计算常数参数

根据前两步计算，我们还差一个未知常数参数 A 没有得到，这一步使用初始条件来计算 A ，目前我们已经得到了

• $v_{cp}=V_I$

• $v_{ch}(t)=A{e}^{-\frac{t}{\tau }}$

带入 $v_c(t)=v_{cp}(t)+v_{ch}(t)$ 可得

$v_c(t)=V_I+A{e}^{-\frac{t}{\tau }}，\tau =RC$

已知 $t=0$ 时， $v_c(t)=V_0$

可得

$V_0=V_I+A{e}^{-\frac{0}{\tau }}$

$V_0=V_I+A$

$A=V_0-V_I$

最终结果

通过以上三步，可以得到最终的结果为：

$v_c(t)=V_I+(V_0-V_I)e^{-\frac{t}{\tau }}，\tau =RC$

举例验证

通过设定一些具体的参数进行验证，设

• $V_0=5v$ ，电容上携带的初始电压
• $V_I=3.4v$ ，电路中独立电压源的直流电压
• $R=100k\Omega$ ，电阻阻值
• $C=10uF$ ，电容容值

将这些具体数值带入函数中，可得

$v_c(t)=3.4+(5-3.4)e^{-\frac{t}{1}}$

绘制曲线

使用绘图软件，将下边这个函数绘制出来

$v_c(t)=3.4+(5-3.4)e^{-\frac{t}{1}}$

可以得到如下曲线，只考虑 t > 0 的部分

LTspice仿真

下边是仿真结果

元件实测

实验测试通过设置下降沿单次触发得到的波形曲线

对电阻电容的测量，误差不大，仿真就按标称值进行的

电脑电源改装的电压源，手动插拔切换的电压

用面包板和直插的元件搭建的测试电路

参考

麻省理工学院公开课——电路与电子学 p13: https://www.bilibili.com/video/BV1ts411v7Ep?p=13&vd_source=55a350b8650fa259fcd33c6529c36cf5