系列笔记为本学期上抽象代数课整理的，持续更新。

群的相关定义

群的定义

群是一个带有满足结合律、单位元、逆元的二元运算的集合，记作$\left(G,\cdot \right)$。若群运算满足结合律，则该集合构成半群。如果该半群中含有单位元（幺元），则称为含幺半群。如果一个群或半群是群运算可交换的，则称这个群或半群是阿贝尔群。

子群

一个群的子群是该群中元素的一个子集，并对群乘法和逆操作保持封闭，记作$H\le G$。最简单的子群是单位元，被称为平凡子群。

判定非空子群的充要条件是：非空子集$H$, $a,b\in H,a{b}^{-1}\in H$。证明思路是先证明存在单位元，此后就可以推出对逆操作封闭，然后就会发现对乘法封闭。该命题也可以写成非空子集$H$满足$H{H}^{-1}=H$。

子群的任意交是子群，但是并不一定。

两个子群之间的乘积什么时候还是一个子群呢？命题是子群$A,B\le G$的乘积$AB\le G$当且仅当$AB=BA$.

陪集分解

相关定义

等价关系与分划

参见[[07：度量空间#序对与关系]]部分。

一个集合的分划是指一个无交并的子集集合，即：
$$S={\dot{\bigcup }}_i{S}_i,S_i\bigcap S_j=\varnothing ,i\ne j$$
容易知道一个集合上的每一个等价关系都对应一个分划，反之亦然。

陪集的定义

设G是群，H是一个子群，则$\forall a\in G$:
$$aH=\left\{ah|h\in H\right\}Ha=\left\{ha|h\in H\right\}$$
分别被称为H在$G$ 中关于 $a$ 的左右陪集。请注意，这里的名称是集，说明陪集在大多是情况下并不构成一个群。

事实上陪集定义了一个自然的等价关系。对于左陪集，可以将 $H$ 中的所有元素视作一个右变换，只要存在一个变换将 $a$ 变为 $b$，则可以认为两者等价：
$$a\sim b⟺\exists h\in H:ah=b$$
可以验证这显然是一个等价关系。两个等价的元素生成的陪集显然相同：
$$a\sim b⟺aH=bH$$
而我们早就已经获悉可以采用某一中等价关系，对原来的集合进行分解。这就是陪集分解。我们将在下一节中先给出陪集的一些基本性质，再给出陪集分解，以及重要的Lagrange定理。

陪集性质与定理

陪集有着一些非常容易证明的性质。设G是群，H ≤ G， a, b ∈ G，
(1) a ∈ aH
(2) aH = H ⇔ a ∈ H
(3) aH ≤ G ⇔ a ∈ H
(4) aH = bH ⇔ a⁻¹b ∈ H
(5) aH 与 bH 或者完全相同，或者无公共元素
(6) |aH| = |bH|

由于陪集定义了一个自然的等价关系，我们可以由此将群$G$进行分解：
$$G=\bigcup _{g\in L}gH=\bigcup _{g\in R}Hg$$
由上述性质我们很容易推知Lagrange定理：
$$H\le G⟹|H|\left[G:H\right]=|G|$$
其中 $\left[G:H\right]$ 是$H$的左（右）陪集的个数，被称为$H$在$G$中的指数，其值可以通过Lagrange定理求到：
$$\left[G:H\right]=\frac{\left[G\right]}{\left[H\right]}=|L|=|R|$$
由于陪集个数一定是整数，我们可以知道任何群的子群的阶数都可以整除原来群的阶数。

陪集分解的运用

元素的阶数

一个元素的阶数被定义为：
o(a)=min⁡ {n:an=e} o(a) = \min\: \left\{{n:a^n = e}\right\} o(a)=min{n:an=e}
有时也被记为$ord(a)$。如果没有正整数$n$使得$a^n=e$，则定义其阶数为正无穷。注意，由定义可知群的阶数要大于其中任意一个元素的阶数。

我们可以利用元素的阶数来研究群的阶数。首先，若$o(a)<\infty$，则$⟨a⟩$显然是$G$的一个子群，故：
$$o(a)||G|,o(a)<\infty$$
也就是以下一个定理：
定理：对于有限群，每一个元素的阶数都是群阶数的因子。
作为定理的推论，我们可以知道以下几个事实：

Facts：
（1）群中每个元素的阶数都是2，则群为Abel群。
proof：$ba=(aa)ba(bb)=a(abab)b=ab$
（2）素数$p$阶群必然是一个循环群，从而是一个Abel群；$p^2$阶群必定是一个Abel群。
proof：前者是由于$⟨a⟩|p$，后者我们在后面可以运用类数定理进行证明。
（3）非Abel群的最小阶数为6。（为$S_3$）

还有如下性质：
$$\begin{array}{rl}& (1)o(a^t)=\frac{o(a)}{\left(t,o(a)\right)}\\ & (2)o(a)=m,o(b)=n,ab=ba,\left(m,n\right)=1⟹o(ab)=mn\end{array}$$

共轭关系与类数定理

我们可以定义集合之间的共轭关系：取$G$的子集$A,B$，如果存在$g\in G$，有：
$$g^{-1}Ag=B$$
则称$A$与$B$共轭。集合的共轭也是一个等价关系，等价类被称为共轭类。

接下来我们将定义两类非常重要的子群，分别称为正规化子和中心化子。两者都是通过某种意义上的共轭不变来定义的；而共轭不变常常与可交换的性质相关。

正规化子

每个集合显然都和自己共轭，我们可以取出所有对集合$A$进行共轭变换保持不变的元素，为集合$A$的正规化子：
$$N_G\left(A\right)=\left\{g\in G:g^{-1}Ag=A\right\}$$
可以验证，任意子集的正规化子也是一个子群。如果对于某一个子群，其正规化子就是群$G$本身，那么这个子群就是一个正规子群。正规子群非常重要，在此后商群部分还会再更详细的进行讨论。

中心化子

一个群的中心指的是这个群中和其余所有元素相乘可交换的元素：
C(G):={x∈G:xg=gx, ∀g∈G} C(G):=\left\{{x \in G: xg=gx,\:\forall g\in G}\right\} C(G):={x∈G:xg=gx,∀g∈G}
这也可以视作群$G$中在任意元素的共轭变换下保持不变的元素。一个群是Abel群的充要条件就是：$G=C(G)$。顺带一提，群的中心是一个正规子群。

一个群中关于某个元素的中心化子，指的是该群中和该元素相乘可交换的元素：
CG(a):={g∈G: ga=ag}=NG(a) C_{G}(a):=\left\{{g \in G:\:ga=ag}\right\}=N_{G}(a) CG​(a):={g∈G:ga=ag}=NG​(a)
这也可以视作群$G$中对$a$共轭变换使之保持不变的元素。在此基础上，我们定义集合的中心化子：
$$C_G(A)=\bigcap _{a\in A}{C}_G(a)=\left\{g\in G:g^{-1}ag=a,\forall a\in A\right\}$$
显然，我们可以合并上述的两个定义：
$$C_G(G)=C(G)$$
此外，不难验证$C_G(A)\le N_G(A)$。

共轭集合个数与类数定理

一个很自然的问题就是，对于一个集合，与之共轭的集合到底有多少呢？取集合$A$，与之共轭的集合显然可以写成：
$${\left\{g^{-1}Ag\right\}}_{g\in G}$$
但是在这些集合中，有一部分是和A重合的。也就是说：
$$g^{-1}Ag=h^{-1}Ah⟺h{g}^{-1}\in N_G(A)⟺h{N}_G(A)=g{N}_G(A)$$
由此可知，与$A$共轭的子集数量为:
$$\left|\left[A\right]\right|=\left[G:N_G(A)\right]$$
这就是共轭等价类阶数定理。运用上述定理到元素上：
$$|[a]|=\left[G:N_G(a)\right]=\left[G:C_G(a)\right]$$

类数定理

由上述推导可以得到类数定理：
$$|G|=\sum _{a\in R}|[a]|=\sum _{a\in R}\frac{|G|}{|C_G(a)|}$$
如果 $a\in C(G)$，则 $|[a]|=1$。上述类数公式可以改写为：
$$|G|=|C(G)|+\sum _{a\in R,a\notin C(G)}\frac{|G|}{|C_G(a)|}$$

p群

下面我们对一类特殊的群——阶数为$p^n$的群运用上述类数定理，可以得到一些很好的结论。

$$p^n=|C(G)|+\sum _{a\in R,a\notin C(G)}\frac{p^n}{C_G(a)}$$
有几种可能。第一种是 $|C(G)|=p^n$，此时 $G$ 是一个Abel群。否则， $\exists a\notin C(G)$，于是 $C_G(a)\ne G$，那么上述公式中右侧第二项就可以被 $p$ 整除。此时：$p||C(G)|$。这也就告诉我们，如果一个群的元素个数为素数，则这个群一定是一个Abel群。此外也告诉我们，$p^n$群必定有非平凡的中心。

最后，我们来证明阶数为 $p^2$ 的群都是Abel群。若 $|C(G)|=p^2$，证毕。否则 $|C(G)|=p$。原群商去中心得到的商群$G/C(G)$的阶数也为$p$，于是商群为一循环群。从而可知 $G$ 中任意元素可以写成$a^k{b}^t$的形式，而且 $a、b$ 可交换。从而可知 $G$ 是一个Abel群。

循环群

群的一个子集$M$（注意，不要求是子群）的生成子群是指包含$M$的最小子群：
⟨M⟩:=⋂H∈τHwhere:τ={H≤G:M∈H} \langle M\rangle:=\bigcap_{H\in \large\tau}H\quad \quad where:\tau=\left\{{H\leq G:M \in H}\right\} ⟨M⟩:=H∈τ⋂​Hwhere:τ={H≤G:M∈H}
以下有两种特别的情况。当$⟨M⟩=G$时，称$M$是$G$的一个生成元集（或者叫生产元系）。当M={a}M=\left\{{a}\right\}M={a}时，称$⟨a⟩:=⟨M⟩$是由$a$生成的循环群，$a$是该循环群的一个生成元。群$G$为循环群，若$\exists a\in G,G=⟨a⟩$。
$$G是循环群⟺|G|=o(a)$$

无限循环群同构于整数加法群$\mathbb{Z}$，n阶循环群同构于${\mathbb{Z}}_n$。

循环群的子群也是循环群。设子群H非平凡，原群G的生成元为$a$。取：
$$n_0:=\min \left\{n\in {\mathbb{Z}}^{+}:a^n\in H\right\}$$
显然：$<a^{n_0}>\le H$。对于任意$a^n\in H$，带余除法：$n=q{n}_0+r$成立。于是$a^r\in H$。而由 $n_0$ 的定义可知，$r$ 只能等于0。从而可知 $H$ 是一个循环群。

一个无限循环群$G=⟨a⟩$还有这样的性质：$\forall m\in {\mathbb{Z}}^{+}$，$G$中恰好有一个指数$[G:G_m]=m$ 的子群$G_m=⟨a^m⟩$。存在性和唯一性都显然。使用基本同样的证明思路我们也可以证明一个$n$阶循环群，对于任意n的正因子m，G中恰好有一个指数为$\frac{n}{m}$的子群$G_m$。

一个循环群中有多少个生成元呢？设$G$是一个n阶循环群，则其中有小于n的素数的个数的生成元。小于n的素数的个数被定义为欧拉函数：$\varphi (n)$。而如果$G$是一个无限循环群，则其生成元只有$a,a^{-1}$。这是由于如果$⟨a^n⟩=G$，则$[G:G_n]=|n|=1$。

正规子群、商群与同态定理

同态与同构

群同态 (Group Homomorphism)

定义：设两个群 $(G,\cdot )$ 和 $(G^{\prime },\ast )$。若映射 $\varphi :G\to G^{\prime }$ 满足对任意 $a,b\in G$：
$$\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\ast \varphi (b),$$
则称 $\varphi$ 为群同态。

性质

• 保单位元：$\varphi (e_G)=e_{G^{\prime }}$，其中 $e_G$ 和 $e_{G^{\prime }}$ 分别为 $G$ 和 $G^{\prime }$ 的单位元。
• 保逆元：$\varphi (a^{-1})=(\varphi (a){)}^{-1}$ 对所有 $a\in G$ 成立。
• 核 (Kernel)：ker⁡(ϕ)={a∈G∣ϕ(a)=eG′}\ker(\phi) = \{ a \in G \mid \phi(a) = e_{G'} \}ker(ϕ)={a∈G∣ϕ(a)=eG′​} 是 $G$ 的[[群论#正规子群|正规子群]]。

例子

• 指数映射：$\varphi :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}^{+},\times )$ 定义为 $\varphi (x)=e^x$，因为 $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$。
• 无限循环群同构与$\left(\mathbb{Z},+\right)$，n阶循环群同构于$\left({\mathbb{Z}}_n,+\right)$.

群同构 (Group Isomorphism)

定义：若群同态 $\varphi :G\to G^{\prime }$ 是双射（即既单射又满射），则称 $\varphi$ 为群同构，此时称群 $G$ 和 $G^{\prime }$ 同构，记作 $G\cong G^{\prime }$。

性质

• 结构保持
• 等价关系

例子

• 循环群与模加法群：$({\mathbb{Z}}_n,+)\cong (C_n,\cdot )$，其中 $C_n$ 是 $n$ 阶循环群。

无限循环群同构于整数加法群。

正规子群

正规子群的概念的引入目的之一就是为了定义商群。

正规子群 (Normal Subgroup)

定义：设$H$是群$G$的一个子群。若对任意$g\in G,h\in H$，都有：
$$gh{g}^{-1}\in H$$
则称$H$为$G$的正规子群，记作$H◃G$。

请注意，子群具有传递性，但是正规子群没有传递性。

等价条件

• 对任意$g\in G$，$gH{g}^{-1}\subseteq H$。
• 对任意$g\in G$，$gH{g}^{-1}=H$。
• 任意一个左陪集均是一个右陪集。

正规子群的存在性

• Abel群的子群均正规：若$G$是Abel群，则其所有子群都是正规子群。
• 同态的核是正规子群：若$\varphi :G\to M$是群同态，则$\ker (\varphi )$是$G$的正规子群。
• 指数为2的子群是正规子群。（证明左陪集等于右陪集）

例子

• 特殊线性群：$SL(H,\mathbb{R})◃GL(n,\mathbb{R})$（行列式为1的矩阵构成的子群）。
• 中心子群：群中心$Z(G)◃G$。

商群 (Quotient Group)

定义：设$N◃G$，定义商群$G/N$为$N$在$G$中所有左陪集（或右陪集）构成的集合，其二元运算为：
$$(aN)(bN)=(ab)N\text{（运算良定义需N的正规性）}.$$

---

命题：商群乘法良定义$⟺$N是正规子群，i.e.$g^{-1}Ng\in N,\forall g\in G$。
证明：
$⟹$: 对任意$h\in H,g\in G$,因为上述“乘法”是良定的，
故由$\bar{h}=\overline{e}$ 和$\overline{g}=\overline{g}$ 可推出$\overline{h}g=\overline{g},⟹hgH=gH⟹g^{-1}hg\in H.$

$⟸$: 设$\overline{a}=\overline{a^{\prime }},\overline{b}=\overline{b^{\prime }}$,要证$\overline{a}b=\overline{a^{\prime }{b}^{\prime }}$,即要证$b^{-}1(a^{-1}{a}^{\prime })b^{\prime }\in H.$
因为$a^{-}1a^{\prime }=h\in H$,故 $b^{-1}(a^{-1}{a}^{\prime })b^{\prime }=b^{-1}h{b}^{\prime }=(b^{-1}hb)(b^{-1}{b}^{\prime })\in H$

结构性质

• 单位元：$N$自身（即$eN=N$）。
• 逆元：$(aN{)}^{-1}=a^{-1}N$。
• 阶的关系：若$G$有限，则$|G/N|=|G|/|N|$。

例子

• 整数模$n$加法群：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n$，其中$n\mathbb{Z}◃\mathbb{Z}$。
• 对称群的商群：$S_3/A_3\cong {\mathbb{Z}}_2$，其中$A_3$（3阶交错群）是$S_3$的正规子群。

注记

商群$G/N$的结构反映了$G$“模去$N$”后的群性质，是研究群分解与同态的核心工具。

同态定理

群同态基本定理

映射 $f:G\to \tilde{G}$ 的核为：
Kerf:={x∈G ∣ f(x)=e~} Kerf:=\{x\in G\:\bigg|\:f(x)=\tilde{e}\} Kerf:={x∈G ​f(x)=e~}
易知，映射为单同态的充要条件是有一个平凡的Kernel，满同态的充要条件是$Im(f)=\tilde{G}$.

群同态基本定理表述如下：
$f:G\to \tilde{G}$是同态，则 $Kerf◃G$，且有群同构
$$G/Kerf\to Imf,xKerf\to f(x)$$
设$N◃G$. 称同态$\pi :G\to G/N$, $x\mapsto xN$为典范满同态，它的核就是$N$。显然，群的满同态$f:G\twoheadrightarrow \tilde{G}$，本质上就是典范满同态：
$$\tilde{G}\cong G/Kerf$$
设 $N◃G$ , 定义：
$$\Gamma :=\left\{H\le G|N\subset H\right\},\Omega :=\left\{M|M\le G/N\right\}$$
显然，两个群族都非空（至少都有平凡元）。此外，由于 $N◃G⟹N◃H⟹H/N\le G/N$，所以我们可以定义单射（被称为典范对应）：
$$\Psi :\Gamma \to \Omega ,H\to H/N$$
我们可以证明这个映射是满射。于是典范对应是一个双射。这告诉我们，商群的子群是子群的商群，子群的商群也是商群的子群。

之所以称作”典范“，是因为上述操作通过自然投影建立了一一对应的关系。上述事实又被称为 子群对应定理。并且，该一一对应是保持正规性的，也即是说：
$$H/N◃G/N⟺H◃G$$

第一同构定理

设 $N◃G,H\le G$。则显然$NH=HN\le G$。我们很容易得到：
$$N◃NH=HNH\cap N◃H$$
并且有典范群同构：
$$HN/N\to H/H\cap N,(hn)N\to h\left(H\cap N\right)$$
![[Pasted image 20250306145312.png|242]]
为什么这是一个群同构呢？这是由于我们考虑映射：
$$\pi :H\to HN/N,h\to hNIm(\pi )=HN/N,Ker\left(\pi \right)=H\cap N$$
于是根据群同构定理：
$$HN/N\cong H/Ker\left(\pi \right)=H/\left(H\cap N\right)$$

第二同构定理

设 $A◃G,B◃G,A\le B$，那么我们有：
KaTeX parse error: Invalid delimiter type 'ordgroup' at position 59: …/A}\right)\bigg{̲/̲}̲\left({B/A}\rig…
proof:
$$A\le B,A◃G⟹A◃B⟹B/A◃G/A$$
为了证明同构关系，我们需要构造一个映射 $\pi :G/A\to G/B$，其$Ker\left(\pi \right)=B/A$。定义：
$$\pi :G/A\to G/B,gA\to gB$$
其显然满足上述要求。

对称群

在此前我们引入了群论的基本定义。我们现在来研究一类非常重要的群：对称群。

设$\Omega$是集合，用$S(\Omega )$表示$\Omega$全体 一一变换作成的关于变换的乘法 (即变换的合成) 作成的群，称为$\Omega$的对称群。将$S(\Omega )$的子群统称为 $\Omega$ 的变换群。

若$\Omega$是$n$元集{1,⋯ ,n}\{1,\cdots,n\}{1,⋯,n},则将$S(\Omega )$记为$S_n$,称为$n$次对称群(the symmetric group of degree $n).$将$S_n$的元称为置换$,S_n$的子群统称为置换群.
则
Sn={σ=(12⋯ni1i2⋯in)∣(i1,⋯ ,in)是(1,2,⋯ ,n)的排列 } S_n=\{\sigma=\left(\begin{smallmatrix}1&2&\cdots&n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{smallmatrix}\right)\mid\left(i_1,\cdots,i_n\right)是 (1,2,\cdots,n) 的排列 \:\} Sn​={σ=(1i1​​2i2​​⋯⋯​nin​​)∣(i1​,⋯,in​)是(1,2,⋯,n)的排列}
这里$\sigma$表示置换 1$\mapsto i_1,\cdots ,n\mapsto i_n$，从而$|S_n|=n!.$

为什么说置换群如此重要呢？我们有一个非常重要的定理：
Cayley定理：
任意一个群 $G$ 都同构于某一个变换群，任意有限群 $G$ 都同构于某一个置换群。

证明倒是非常简单。考虑一下变换：
$$\sigma :G\to S(G),g\to l_g$$
这显然是一个单射。于是 $G\cong \sigma \left(G\right)\le S(G)$。

置换群

置换群可以表示为：
$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ i_1& i_2& \cdots & i_n\end{array}\right)$$
我们定义一类特殊的置换：轮换。一个轮换是指：
$$\left(a_1,a_2,\dots ,a_t\right)\stackrel{\mathrm{def}}{=}{a}_1\to a_2,a_2\to a_3,\dots ,a_n\to a_1$$
长度为2的轮换被称为对换，每一个置换显然都可以写成唯一的互不相交的轮换的乘积（不计次序），而任意长度为 t 的轮换都可以写成 t-1 个对换的乘积(不唯一)：
$$\begin{array}{rl}\left(a_1,a_2,\dots ,a_t\right)& =\left(a_1,a_t\right)\dots \left(a_1,a_3\right)\left(a_1,a_2\right)\\ & =\left(a_1,a_2\right)\left(a_2,a_3\right)\dots \left(a_{t-1},a_t\right)\end{array}$$
于是我们知道，$(1,2),(1,3),\dots ,(1,n)$是一个生成元系，这是由于$(i,j)=(1,i)(1,j)(1,i)$.

虽然置换可以写成多种形式的对换，但是对换因子的奇偶性是确定的。一个置换能够写成长为 $k$ 的轮换之积，则称该置换是偶置换；反之则是奇置换。

全体偶置换显然可以成为一个群，被成为n次交错群，记作$A_n$。而且由于：
$$\forall \sigma \in S_n,\tilde{\sigma }\in A_n:\sigma \cdot \tilde{\sigma }\cdot {\sigma }^{-1}\in A_n$$
可知交错群是一个正规群。于是：
$$S_n=A_n\cup \sigma A_n其中\sigma 是奇置换$$

$n\ge 5$时，$A_n$是单群，$A_n$是$S_n$唯一的非平凡正规子群。

群在集合上的作用

群作用是指把群作用在一个集合 $\Omega$上（常见的如${\mathbb{R}}^n,\mathcal{M}(n)$），这种作用应该满足下面两种性质：
$$\begin{array}{rl}& (1)A(e,p)=p\\ & (2)A(g_1,A(g_2,p))=g_1{g}_{2}p\end{array}$$
则称群$G$是集合 $\Omega$上的一个作用，记作 $G\curvearrowright \Omega$

群作用的另一个定义是：设G是群，$\Omega$是集合.如果有一个群同态$\rho :G⟶S(\Omega )$，其中S(Ω)={f:Ω⟶ΩS(\Omega)=\{f:\Omega\longrightarrow\OmegaS(Ω)={f:Ω⟶Ω 是一一变换}(即Ω的对称群)，则称$G$ 在$\Omega$ 上有一个作用。这两种定义是等价的。

不难检验，矩阵的相似和合同就是两种线性的群作用。

基本概念

称Kerρ={g∈G∣ρ(g)=IdΩ}\rho = \{ g\in G\mid \rho ( g) = \mathrm{Id}_\Omega \}ρ={g∈G∣ρ(g)=IdΩ​}为这个作用的核.这个核Ker当然是$G$的正规子群.如果Kerf={e}f=\{e\}f={e},则称这个作用是忠实的 (faithful)。

一个群由群运算诱导出的群作用，被成为左（右）正则作用。这显然是一个忠实作用。

设H≤G,Ω:=G/H:={xH∣x∈G}(H\leq G,\Omega:=G/H:=\{xH\mid x\in G\}(H≤G,Ω:=G/H:={xH∣x∈G}(注意：这里不要求$H$ 是正规子群，从而$G/H$只是左陪集的集合，未必是群)。 考虑G 在$\Omega$上的作用：规定$g(xH):=(gx)H,\forall g\in G,\forall xH\in \Omega .$。这个作用被称为G 的左诱导作用。我们很容易知道：
$$(gx)H=xH,\forall x\in G\iff g\in xH{x}^{-1},\forall x\in G,$$
于是这个作用的ker是：
$$Kerf=\bigcap _{x\in G}xH{x}^{-1}$$
设 $A\subset G$. 令 Ω={xAx−1∣x∈G}Ω = \{x Ax⁻¹ | x ∈ G\}Ω={xAx−1∣x∈G}. 考虑 G 在 Ω 上的作用: $g(xA{x}^{-1}):=(gx)A(gx{)}^{-1}=gxA{x}^{-1}{g}^{-1}$. 称为 G 的共轭作用。我们很容易知道：

$$(gx)A(gx{)}^{-1}=gxA{x}^{-1}{g}^{-1}=xA{x}^{-1}\iff x^{-1}gx\in N_G(A)\iff g\in x{N}_G(A)x^{-1}$$

这个作用的核为 ${\bigcap }_{x\in G}x{N}_G(A)x^{-1}$，其中 NG(A)={g∈G∣gA=Ag}N_G(A)=\{g\in G|gA=A_{}g\}NG​(A)={g∈G∣gA=A​g}，称为 A 在 G 中的正规化子。注意 $N_G(A)\le G$.

设$G\curvearrowright \Omega$，对每个$x\in \Omega$,令Ox:={g(x)∣g∈G}O_x:=\{g(x)\mid g\in G\}Ox​:={g(x)∣g∈G},称为x的G-轨道(orbit)。
![[Pasted image 20250313173406.png]]
![[Pasted image 20250313173516.png]]

轨道给了原来的集合$\Omega$一个自然的分划：
$$\Omega =\bigcup _{x\in X}{O}_x$$
其中$X$是不同轨道的代表元的集合。于是，每条轨道中的各个元素在群作用的意义下就是等价的。

用$x$的稳定子群$G_x$去商原群$G$，会得到一个集合。我们对其有以下定理：
$$\begin{array}{r}\varphi :O_x\to G/G_x,g(x)\to g{G}_x\end{array}$$
是一个一一映射。从而就可以的到：
$$|O_x|=[G:G_x]$$

Burnside定理

设$G\curvearrowright \Omega$.问题：如何确定$\Omega$的G-轨道的条数？许多科学技术及日常生活中的计数都可归结为这个问题。关于这个问题，有以下定理：

定理： 设$\Omega$是G-集，$t$是$\Omega$的G-轨道的条数.则
$$t=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}F(g).$$
其中F(g)=∣{x∈Ω∣gx=x}∣F(g)=|\{x\in\Omega\mid gx=x\}|F(g)=∣{x∈Ω∣gx=x}∣，是 $g$ 的不动点的个数。

proof：另$\Gamma =\left\{(g,x)|gx=x\right\}$，则
$$|\Gamma |=\sum _{g\in G}F(g)=\sum _{x\in \Omega }|G_x|=\sum _{x\in \Omega }\frac{|G|}{|O_x|}=t|G|$$
于是：
$$t=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}F(g).$$

举例说明这个定理的作用。问题：有白、黑、红三种颜色的小珠子各2颗，问：用他们可以串成多少种不同的项链？

解：可以想象6颗珠子为正六边形的顶点。$|\Omega |=C_6^2{C}_4^2=90$，

G={1,τi(i=1,2,⋯ ,5),ηi(i=1,2,3),σi(i=1,2,3)}G = \{1, \tau_i(i=1,2,\cdots,5), \eta_i(i=1,2,3), \sigma_i(i=1,2,3)\}G={1,τi​(i=1,2,⋯,5),ηi​(i=1,2,3),σi​(i=1,2,3)}，${\tau }_i:$ 绕中心的旋转，${\eta }_i:$ 为关于六边形的对边中线的反射，${\sigma }_i:$ 为过中心的对角线的反射。
$$|F_{(1)}|=90,|F_{{\tau }_1}|=|F_{{\tau }_5}|=0,|F_{{\tau }_2}|=|F_{{\tau }_4}|=0,|F_{{\tau }_3}|=6,|F_{{\eta }_1}|=|F_{{\sigma }_1}|=6$$
$$t=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}F(g)=\frac{1}{12}(90+0\times 2+0\times 2+6\times 3+6\times 3)=11$$

Sylow定理

Lagrange定理告诉我们，如果一个群$G$及其子群$H$的阶数分别为$n,d$，则必定有：$d|n$。但是反过来，对于$n$的每个因子$d$，并没有定理保证存在子群，其阶数恰好为$d$。

先来证明一个引理：对于有限交换群$G$，如果素数 $p||G|$，则存在元素 $a\in G$ 的阶数为p。
proof：数学归纳法当$n=2$时，结论显然成立。

假设对所有的阶$k\le n$的群都成立。当$k=n$时，任取$a\in G$，$a\ne e$，令$orda=r$。
$(1)$ $r=pt$，则$ord{a}^t=p$
(2)$p\nmid r,H=⟨a⟩$, 则$H◃G$.则$|G/H|<n$.且$p\mid |G/H|$.由归纳，存在$gH\in G/H$, ord$gH=p$.则$g^p\in H.\Rightarrow g^{pr}=e$。如果$g^r\in H$，则令：
$$r=p\cdot q+{\xi }_1$$
于是$g^{{\xi }_1}\in H$。若${\xi }_1=1$，矛盾；否则再令：
$$p={\xi }_1\cdot q_1+{\xi }_2$$
由于${\xi }_1\nmid p$，于是${\xi }_2\ne 0$，且${\xi }_2<{\xi }_1$。重复：
$$p={\xi }_i\cdot q_i+{\xi }_{i+1}$$
最终会得到 $g\in H$，矛盾。于是$g^r\notin H⟹g^r\ne e$。令$b=g^r,b^p=e$。由于$p$是素数，于是不可能存在一个比$p$小的数 $k$，使得$b^k=e$。这样就找到了一个阶数为$p$的元素。

remark: 这个定理其实对于任意有限群都是对的，被称为Cauchy定理。

下面正式介绍Sylow三定理。由于证明较为复杂，这里仅仅做三定理的陈述，再加上一些讲解与直观理解。

一些零散的点

剩余类

设 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$, 对于任意$i\in \mathbb{Z}$，称 ${\bar{i}}_n$ 为模$n$的剩余类：
$$\bar{i}:=\left\{kn+i|k\in \mathbb{Z}\right\}$$
用${\mathbb{Z}}_n$表示模n的剩余类的集合。易知：
Zn∼{0,1,2,…,n−1} \mathbb{Z}_{n}\sim\left\{{0,1,2,\dots,n-1}\right\} Zn​∼{0,1,2,…,n−1}

两个子群乘积的阶

$$|AB|=\frac{|A||B|}{|A\cap B|}$$