【微波理论】多层介质基板等效介电常数的推导

多层介质基板的等效介电常数的推导

MicrowaveM

2613人浏览 · 2024-11-13 16:39:52

MicrowaveM · 2024-11-13 16:39:52 发布

在进行天线设计的过程中，有时往往需要用到多种不同介电常数的介质基板叠加。由于介电常数的不同，多层板叠加后会导致有效介电常数的改变，因此需要计算多层介质基板情况下的等效介电常数。

一、电容理论

首先，需要了解介电常数又叫电容率，单位为F/m。因此，介电常数可以看作单位距离的容值的关系。由电容的计算公式：

$C=\varepsilon \frac{S}{d}$

如上图中所示，对于两层介质基板的叠加，可以将其看作是两个电容的串联。因此，叠加后的整体的电容值可以表示为：

$\frac{1}{\varepsilon '\frac{S}{d1+d2}} = \frac{1}{\varepsilon_{1}\frac{S}{d1}} + \frac{1}{\varepsilon_{2}\frac{S}{d2}}$

因此，可以推出，整体的等效介电常数 $\varepsilon'$ 为：

$\frac{1}{\varepsilon'} = (d1\frac{1}{\varepsilon_{1}} +d2\frac{1}{\varepsilon_{2}})\frac{1}{(d1+d2)}$

二、边界条件推导

如上图所示，为两层不同介电常数的介质基板组成的平行板电容器。对其施加电压U。

需要首先明确：1、边界条件： $D_{1n} - D_{2n} = \rho_{s}$ ；其中 $\rho_{s}$ 为分界面上自由电荷。

2、电容的电荷分布在电容的两极，也即上图的金属层上。

因此，在分界面上： $D_{1n} - D_{2n} = \rho_{s} = 0$

由电路的基本知识： $U_{1} + U_{2} = U$

即： $E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2} = U$

由Maxwell方程可知： $D = \varepsilon E$

因此可以得到： $\frac{D_{1n}}{\varepsilon_{1}}d_{1} + \frac{D_{2n}}{\varepsilon_{2}}d_{2} = U$

对整体的电路又有： $U = E(d_{1}+d_{2})=\frac{D}{\varepsilon '}(d_{1}+d_{2})$

因为施加的电压U是不变的，因此： $D_{1n} = D_{2n} = D$

因此可以推出： $\frac{1}{\varepsilon_{1}}d_{1} + \frac{1}{\varepsilon_{2}}d_{2} = (\frac{1}{\varepsilon'} )(d_{1}+d_{2} )$

三、总结

由以上的推导，可以推出，两层介质基板的介电常数可以等效为：

$\varepsilon' = \frac{\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}(d_{1}+d_{2} )}{\varepsilon_{1}d_{2}+ \varepsilon_{2}d_{1}}$

多层板的等效介电常数可以以此类推。

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