素数筛法

一般筛法：

一般筛法适用于单个元素的检验，就是简单地对于一个元素 n 从2至 sqrt(n)进行检验能否整除，有一个就不是素数。

代码如下：

//原始筛选法->适用于单个元素的检验
bool isprime_A(int n)
{
    for(int i = 2;i < sqrt(n);i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

埃氏筛法

埃氏筛法利用了一个素数的倍数一定不是素数、任何一个合数可以表示成一个素数和另一个数乘积的性质。

对于一定的范围，先假定它们都是质数，然后从2（显然是素数）开始，先判断如果是素数，把它在范围内的倍数乘积都筛去（是合数），以此类推循环至 sqrt(n) 即可。

代码如下：

//埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法->适用于一定范围的元素的筛选
bool is_prime[1000];//布尔数组来标记是否为素数
int prime[1000] = {0};    //存放素数
int q = 0;

void isprime_B(int b) //要筛选素数的区间右端点
{
    memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));//先假设都为素数
    for(int i = 2;i <= sqrt(b);i++)
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[q++] = i;
            for(int j = i*2;j <= b;j += i)//素数的倍数一定不是素数
            {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }

}

欧拉筛法

感觉欧拉筛法和埃氏筛法的原理类似…但是欧拉筛法更减少了没有必要的计算，就是增加了处理：每一个被筛掉的数都必须是被它的最小质因子筛掉，为了保证这一点，增添了如下代码：

if(i % prime2[k] == 0)//确保是最小质因数
{
    break;
}

为什么这样检验，想象一下，首先筛选的前提是：

也就是因子是按照遍历的顺序，是从小到大的素数。即：

而如果不break继续筛选的话在筛选到满足如下性质(即上述条件)的合数后：

会继续筛选到一个更大的质数：

也满足筛去：

但是它也可以表示为：

但是显然prime[j]为它的最小素数，如果它被筛去那么它是被prime[j+x]筛去的，而这并不是它的最小质数。

所以这个条件的限制是这么个原因大概。

代码如下：

//欧拉筛法->适用于一定范围的元素的筛选，时间复杂度O(n)
bool is_prime_Euler[1000];
int prime2[1000] = {0};

void isprime_C(int b)
{
    int k = 0,j = 0;

    memset(is_prime_Euler,true,sizeof(is_prime_Euler));
    for(int i = 2;i <= b;i++)
    {
        if(is_prime_Euler[i])
        {
            prime2[j++] = i;
        }
        //接下来进行筛的操作
        while(1)
        {
            if(i*prime2[k] > b)
            {
                break;
            }
            is_prime_Euler[i*prime2[k]] = false;//最小质因数的倍数一定不是素数
            if(i % prime2[k] == 0)//确保是最小质因数
            {
                break;
            }
            k++;
        }
        k = 0;
    }
}

可能在数理层面理解的还不够深刻…希望大家能多指点。