图像频域分析是理解图像全局特征的重要方法，广泛应用于去噪、边缘检测、压缩等领域。本文将通过 傅里叶变换的基本原理、频谱分析 和 频率域滤波方法，结合 MATLAB 实现示例，系统讲解频域处理的核心技术。

1. 傅里叶变换与图像频域表示

傅里叶变换（Fourier Transform）将图像从 空间域 映射到 频率域，将像素强度变化分解为不同频率的正弦波分量。图像中的高频信号对应边缘/细节，低频信号对应平滑区域。

1.1 二维离散傅里叶变换（2D-DFT）

图像的二维离散傅里叶变换公式为：

逆变换公式为：

• 物理意义：图像中的每个点  的明暗变化由不同频率的分量叠加而成。

1.2 MATLAB中图像FFT的实现

img = im2double(imread('cameraman.tif'));  % 读取图像并归一化
F = fft2(img);             % 计算傅里叶变换
F_shift = fftshift(F);     % 将低频移到频谱中心

% 可视化频谱（需对幅度取对数）
spectrum = log(1 + abs(F_shift)); 
figure;
subplot(121), imshow(img), title('原始图像');
subplot(122), imshow(spectrum, []), title('频率域幅度谱');

运行结果：

• 原始图像的频谱中心为低频区域，边缘为高频成分（图像边缘和噪声）。
• 明亮区域表示对应频率的能量较强。

2. 频率域滤波方法

频率域滤波通过设计 滤波器传递函数，选择性地增强或抑制特定频率分量。

2.1 低通滤波（去除高频噪声）

• 原理：保留低频信号，截断高频成分（如图像模糊化）。
• 理想低通滤波器（ILPF）：

 

•  D0为截止频率半径，D(u,v) 为频率点(u,v) 到中心的距离。

% 生成理想低通滤波器
[M, N] = size(img);
D0 = 30;  % 截止半径
u = 0:(M-1);
v = 0:(N-1);
[V, U] = meshgrid(v - N/2, u - M/2);  % 坐标偏移至中心
D = sqrt(U.^2 + V.^2);               % 计算距离矩阵
H = double(D <= D0);                 % 理想低通滤波器

% 应用滤波器
G_shift = F_shift .* H;              % 频域相乘
G = ifftshift(G_shift);              % 移回原始象限
g = real(ifft2(G));                  % 反变换并取实部

figure;
imshow(g, []), title('理想低通滤波结果');

 

 输出效果：图像边缘模糊，高频噪声被抑制，但产生振铃效应。

2.2 高斯低通滤波（减少振铃效应）

传递函数：

呈现平滑过渡特性，避免理想滤波器的陡峭截止。

H_gaussian = exp(-(D.^2) / (2 * D0^2));
G_shift_gauss = F_shift .* H_gaussian;
G_gauss = ifftshift(G_shift_gauss);
g_gauss = real(ifft2(G_gauss));
figure; imshow(g_gauss, []), title('高斯低通滤波结果');

效果对比：高斯低通滤波结果更平滑，无明显振铃效应。

2.3 高通滤波（边缘增强）

• 原理：抑制低频，保留高频（突出边缘和细节）。
• 理想高通滤波器：

H_highpass = 1 - H;  % 基于低通滤波器生成高通
G_shift_high = F_shift .* H_highpass;
G_high = ifftshift(G_shift_high);
g_high = real(ifft2(G_high));
figure; imshow(g_high, []), title('理想高通滤波结果');

输出分析：图像背景变暗，边缘轮廓被增强。

3. 实际应用案例

案例1：周期性条纹噪声去除

使用 带阻滤波器滤除特定频率的干扰。

% 生成频域带有竖直条纹噪声的图像
noise_pattern = sin(2*pi*50*(0:N-1)/N);  % 50Hz周期性噪声
noisy_img = img + repmat(noise_pattern, M, 1);
F_noisy = fftshift(fft2(noisy_img));

% 设计带阻滤波器（抑制竖直条纹）
D0_band = 5;  % 阻带宽度
center_freq = 50;  % 噪声频率对应的位置
H_bandstop = 1 - exp(-(abs(V - center_freq).^2) / (2*D0_band^2));

% 应用带阻滤波
G_shift_band = F_noisy .* H_bandstop;
G_band = ifftshift(G_shift_band);
g_band = real(ifft2(G_band));
montage({noisy_img, g_band}, 'Size', [1 2]);

案例2：图像锐化（高频增强）

利用高通滤波结合原图的加权叠加：

lambda = 0.8;  % 增强系数
sharpened_img = img + lambda * g_high; 
sharpened_img = imadjust(sharpened_img); % 对比度调整
figure; imshow(sharpened_img);

4. 关键问题与解决技巧

问题1：频谱中心为什么是低频？

• 回答：图像能量主要集中在低频区域（如平滑背景），FFT后的频谱中心化（fftshift）便于直观分析。

问题2：相位信息的重要性

• 相位决定图像结构，仅修改幅度谱会导致失真。保留原始相位可实现更好的反变换效果。

问题3：如何避免振铃效应？

• 方法：
  1. 选择平滑过渡的滤波器（如高斯滤波而非理想滤波）。
  2. 对图像进行边缘填充（如对称填充 'symmetric'）后再滤波。

问题4：频率域滤波与空间域卷积的等价性

• 依据：卷积定理（时域卷积 = 频域相乘）。

5. 总结与对比

方法	作用	MATLAB核心函数	适用场景
理想低通滤波	去除高频噪声	fft2 + 频域乘法	快速去噪（产生振铃）
高斯低通滤波	平滑图像，保留边缘	fspecial('gaussian')	自然图像模糊处理
理想高通滤波	增强边缘轮廓	频域滤波器设计	医学图像增强
带阻滤波	抑制周期性噪声	自定义模板	条纹/波纹噪声去除