一、评价决策类

1、层次分析法（AHP）

层次分析法用来评价或选择一个更好更优的决策或方案

通过找到可以衡量其好坏的指标，进而衡量指标，再形成评价体系

归一化处理

让指标在同一数量级，且保证在同一指标下其差距保持不变

操作：指标的数组[a b c]归一化处理得到[ a/(a+b+c) , b/(a+b+c) , c/(a+b+c) ]

但实际上每个指标的重要性是不同的，可以给每个指标上加上一个权重 

而如何科学的设定权重，则体现出层次分析法的主要作用

层次分析法是对一些较复杂模糊的问题作出决策的简易方法，其适用于难以完全定量分析的问题

模型原理

首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。复杂问题被分解为元素的组成部分，上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用

层次可以分为三类：最高层、中间层、最底层

基本步骤

其中第二步构造判断矩阵，要对指标的重要性进行两两比较

矩阵中的元素aij的意义为：第i个指标相对于第j个指标的重要程度

 依次对变量进行两两比较，得到完整的判断矩阵

而因为两两比较的过程中忽略了其他因素，导致最后的结果可能出现矛盾

所以需要一致性检验 

一致性检验 

 

 

求权重 

Ⅰ.算数平均法

①用每一个元素除以所在列的和

② 每一行相加

③得出的一列数据除以n

Ⅱ.几何平均法

①根据n来开根号

②用每一个开根号后的元素除以所在列的和

Ⅲ.特征值法

求评分

Python代码

在数学建模中最常用的三个库：Numpy、Pandas、Matplotlib

Numpy

Numpy是Python中用于科学计算和数值操作的基础库，其提供了很多高性能的多维数组对象和用于处理数组的各种函数

Pandas

用来提供高性能，易于使用的数据结构和数据分析工具所用的库

Matplotlib

创建可视化的库，也就是用来绘图的

#1、一致性检验

import numpy as np#as np是将numpy库名命名为np，这样在使用的时候更加方便
#定义矩阵A
#np.array是NumPy库中的一个函数，用于创建数组，它可以将输入的对象（列表元组其他数组等）转换为NumPy数组
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])#二维数组作矩阵
n=A.shape[0]#shape获取形状信息，获取A的行，1为获取A的列
#求最大特征值以及对应的特征向量
#np.linalg.eig是NumPy库中的一个函数，用于计算方阵的特征值和特征向量
#eig_val特征值,eig_vec特征向量
eig_val,eig_vec=np.linalg.eig(A)
Max_eig=max(eig_val)#求特征值最大值
CI=(Max_eig-n)/(n-1)
#这里n=2时，一定为一致矩阵，所以CI=0，为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正整数
RI=[0,0.0001,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59]#这里RI最多支持n=15
CR=CI/RI[n-1]
print('一致性指标CI=',CI)
print('一致性比例CR=',CR)
if CR<0.10:
    print('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受')
else:
    print('注意：CR>=0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改')

#2、算数平均法求权重

import numpy as np
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])
#计算每一列的和
#no.sum函数可以计算一维数组中所有元素的总和
#可以通过指定axis参数来计算多维数组在某个维度上的元素总和
#例如在二维数组中，axis=0表示按列计算总和，axis=1表示按行计算
ASum=np.sum(A,axis=0)
n=A.shape[0]#shape获取形状信息，获取A的行，1为获取A的列
#归一化，二维数组除以一维数组，会自动将一维数组扩展为与二维数组相同的形状，然后进行逐元素的除法运算
Stand_A=A/ASum
#各列相加到同一行
ASumr=np.sum(Stand_A,axis=1)
#计算权重向量
weights=ASumr/n
print(weights)

 #3、几何平均法求权重

import numpy as np
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])
#将A中的每一行元素相乘得到一列向量
#np.prod函数可以计算一维数组中所有元素的乘积
prod_A=np.prod(A,axis=1)
n=A.shape[0]
#将新的向量的每个分量开n次方
#np.power函数可以对数组中的元素进行幂运算
prod_n_A=np.power(prod_A,1/n)
#归一化
re_prod_A=prod_n_A/np.sum(prod_n_A)
print(re_prod_A)

#4、特征值法求权重

2、优劣解距离法（Topsis）

Topsis法是常用的综合评价法，其结果能精确的反应各评价方案之间的差距

其引入两个基本概念：

理想解：最优的解（方案），各个属性都达到了备选方案中的最好值

负理想解：最劣的解（方案），各个属性都达到了备选方案中的最坏值

Topsis法通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择

原始矩阵正向化

将所有指标类型转换为极大型指标

正向化矩阵后，要将矩阵标准化

正向化矩阵标准化

 标准化的目的在于消除不同指标量纲的影响

 计算得分并归一化

模型原理

Topsis在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。通过归一化后的矩阵，找出理想解和负理想解，分别计算各个目标与理想解和负理想解的距离，获得各个目标和理想解的贴进度，按照贴进度的大小排序，以此作为评价目标优劣的依据。

贴进度取值在0~1之间，值越接近1，则目标越接近最有水平

基本步骤

Python代码

3、熵权法

在最后评分时根据各指标的重要性不同，需要确定权重。而在前两个模型中，权重都是通过主观得到的，那是否有更为客观得到权重的方法呢？

熵权法是一种客观的赋权方法，它可以靠数据本身得出权重

信息是系统有序程度的一个度量，熵则是系统无序程度的一个度量

模型原理  

        根据信息熵的定义，对于某项指标，可以用熵值来判断其离散程度，其信息熵值越小，指标离散程度越大，权重也就越大；指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也越低

基本步骤

首先正向化

再标准化

再归一化

最后计算熵权

Python代码

import numpy as np
#定义一个自定义函数mylog，用于处理输入数组中的零元素
def mylog(p):
    n=len(p)#获取输入向量p的长度
    lnp=np.zeros(n)#创建一个长度为n，元素都为0的新数组lnp
    for i in range(n):#对向量p的每一个元素进行循环
        if p[i]==0:
            lnp[i]=0
        else:
            lnp[i]=np.log(p[i])
    return lnp

#输入正向化后的指标矩阵
X=np.array([[9,0,0,0],[8,3,0.9,0.5],[6,7,0.2,1]])
#标准化处理
Z=X/np.sqrt(np.sum(X*X,axis=0))
print('标准化矩阵Z=')
print(Z)
#定义计算熵权所需的变量以及矩阵初始化
n,m=Z.shape#获取Z矩阵的行数和列数
D=np.zeros(m)#初始化一个长度为m的数组D,用于保存每个指标的信息效用值
#计算每个指标的信息效用值d
for  i in range(m):#遍历Z的每一列
    x=Z[:,i]#获取Z的第i列，即第i个指标的所有数据
    #对第i个指标进行归一化处理
    p=x/np.sum(x)
    #使用自定义的mylog函数计算p的对数
    #需要注意的是，如果p中含有0，直接使用np.log会得到-inf，这里使用自定义函数解决了这个问题
    e=-np.sum(p*mylog(p))/np.log(n)#根据熵的定义计算第i个指标的信息熵e
    D[i]=1-e
#根据信息效用值计算各指标的权重
W=D/np.sum(D)
print('权重W=')
print(W)

4、模糊综合评价模型

像美丑这样的概念称为模糊性概念

模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”

集合：具有相同属性事物的集体。

其基本属性包括①互斥性（集合中的元素都不相同）②确定性（元素是否属于集合是确定的）

简单来说，隶属度就是元素属于某个模糊集合的程度，而隶属函数就是来确定隶属度的函数

模糊集合的表示

 模糊集合的分类

隶属函数的确定

评价问题概述

一级模糊综合评价模型

在指标个数较少的考核中，可以运用一级模糊综合评判

基本步骤

（1）确定因素集、评语集、权重集合（Delphi、层次分析、熵权法等）

（2）确定模糊综合判断矩阵

（3）模糊综合判断，进行矩阵合成运算

多层次模糊综合评价模型

概念比较抽象，以例题为例

Python代码

import numpy as np
#1、一级模糊综合评判
#影响运行费用的各因素的单因素评价矩阵为：
R23=np.array([
    [0.18,0.14,0.18,0.14,0.13,0.23],
    [0.15,0.20,0.15,0.25,0.10,0.15],
    [0.25,1.12,0.13,0.12,0.18,0.20],
    [0.16,0.15,0.21,0.11,0.20,0.17],
    [0.23,0.18,0.17,0.16,0.15,0.11],
    [0.19,0.13,0.12,0.12,0.11,0.33],
    [0.17,0.16,0.25,0.08,0.25,0.19]])
#权重分配为
A23=np.array([0.20,0.15,0.10,0.10,0.20,0.15,0.10])
#评价结果
#np.dot是Numpy库中的一个函数，用于计算两个数组的点积。对于一维数组，它计算的是这两个数组的内积
#对于二维数组（矩阵来说），它计算的是矩阵乘法
B23=np.dot(A23,R23)
#2、二级模糊综合判定
R1=np.array([
    [0.12,0.18,0.17,0.23,0.13,0.17],
    [0.15,0.13,0.18,0.25,0.12,0.17],
    [0.14,0.13,0.16,0.18,0.20,0.19],
    [0.12,0.14,0.15,0.17,0.19,0.23],
    [0.16,0.12,0.13,0.25,0.18,0.16]])
A1=np.array([0.15,0.20,0.25,0.10,0.10])
B1=np.dot(A1,R1)
#以下数据复制的R1，没改哈
R2=np.array([
    [0.12,0.18,0.17,0.23,0.13,0.17],
    [0.15,0.13,0.18,0.25,0.12,0.17],
    [0.14,0.13,0.16,0.18,0.20,0.19],
    [0.12,0.14,0.15,0.17,0.19,0.23],
    [0.16,0.12,0.13,0.25,0.18,0.16]])
A2=np.array([0.15,0.20,0.25,0.10,0.10])
B2=np.dot(A2,R2)

R3=np.array([
    [0.12,0.18,0.17,0.23,0.13,0.17],
    [0.15,0.13,0.18,0.25,0.12,0.17],
    [0.14,0.13,0.16,0.18,0.20,0.19],
    [0.12,0.14,0.15,0.17,0.19,0.23],
    [0.16,0.12,0.13,0.25,0.18,0.16]])
A3=np.array([0.15,0.20,0.25,0.10,0.10])
B3=np.dot(A3,R3)
#3、三级模糊综合判定
R=np.array([B1,B2,B3])
A=np.array([0.4,0.3,0.3])
B=np.dot(A,R)

print(B)

5、灰色关联分析模型

一个系统是黑色说明信息量太少，白色说明信息量充足。处在黑白之间，信息不完全的系统，称为灰色系统

灰色系统用颜色深浅反应信息量的多少

关联分析

灰色关联分析是一种多因素统计分析的方法

其弥补了采用数理统计方法作为系统分析所导致的缺憾，对样本量的多少和样本有无规律都适用，而且计算量小，十分方便，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况

基本思想

根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之则越小

分析时首先要选准反映系统行为特征的数据序列，即找系统行为的映射量，用映射量来间接的表征系统行为 

例：用国民平均接受教育的年数来反应教育发达程度

有了系统行为特征数据和相关因素的数据，即可作出各个序列的图形，从直观上进行分析

基本步骤

概念比较抽象，以例题为例

母序列取每行的最大值