二阶常系数非齐次微分方程求解

一般形式

求解的一般步骤

1. 求解对应的齐次方程，即将非齐次项置零，得到二阶齐次线性微分方程
2. 求解齐次方程的特征方程，得到其通解形式
3. 根据非齐次项的形式选择待定系数法或变异参数法求出非齐次方程的一个特解
4. 将通解与特解相加，得到非齐次方程的通解

1. 求解对应的齐次方程：

举个例子

假设我们要求解二阶常系数非齐次线性微分方程

首先，我们需要先求出对应的齐次方程的通解。这里，齐次方程为

特征方程为

解得，因此齐次方程的通解为

接下来，我们需要找到一个特解 yp。因为非齐次方程的右边是sin(2x)，我们可以猜测 yp的形式为y p y_因为非齐次方程的右边是

sin ⁡ ( 2 x ) \sin(2x)

y p y_py

其中A和B是待定常数。将y p y_p yp代入非齐次方程中，得到

通过比较比较系数，我们得到A=-1/8，B = 0，因此特解为

最终的通解为

这样，我们就成功地求解了二阶常系数非齐次线性微分方程。

求二阶常系数线性非齐次微分方程的特解的方法有哪些？

给出二阶常系数线性非齐次微分方程

1. 如果g(t)里有指数函数，在特解里也要用相同的指数函数。

例：

先把方程设齐次，然后解通解:

通解：

然后解特解：

代入原方程，得，

特解：

最后:

2. 如果g(t)是多项式，在特解里要用通用相同次数的多项式。

例：

通解：

然后解特解：

代入原方程, 得

特解:

最后，

3. 如果g(t)里含有cos或者sin函数，特解里要用cos和sin函数。

例:

通解：

然后解特解：

代入原方程, 得，

特解：

最后，

4. 如果g(t) 是n个函数相加，那么要把方程拆分成n个部分，依次求特解。

得，

例：

通解：

特解：

最后，

通解：

然后解特解:

代入原方程，得，

化简，得，

5. 列出预选的特解，一定要和通解进行比较。如果预选特解中和通解中出现重复项，那么要在特解上乘以 t，直到不再出现重复项。

例1：

通解：

g ( t ) = e 4 t g(t) = e^{4t}g(t)=因此初选特解yp=A,但是和中第一项相同，那么要在乘以t得到=At。但是 和中第二项也相同，那么乘以t得到

把特解和通解再比较，没有重复了。特解选好了。

代入原方程，得，

化简，得，

特解：

最后，

例2：

通解：

然后解特解：

设

然后和

比较，发现C1重复，在

现有基础上乘以t，得

代入原方程，得，

化简，得，

比较系数，得，

特解：

最后，

6. 如果g(t)是两个或两个以上函数相乘，那么特解中要用g(t)中每个函数对应的特解相乘来求解。

例1：

其中，

是由二次多项式、指数函数和cos 函数相乘所得。特解中要用通用二次多项式、指数函数和cos函数。

正确格式：

错误格式：

最后，特解选

例2：

先把方程设齐次，

解通解，

得

发现yc中和出现重复，在乘以x，得

通解：

解特解，

是多项式和指数函数相乘所得。特解中要用多项式和指数函数相乘。

设特解

代入原微分方程，得

化简，得

化简，比较系数，得

特解：

最后，

例3：

通解：

g(t) 是由几个函数相乘再相加所得，先要把它拆分开来。

第一部分

是由二次多项式和sine函数相乘所得。特解中要用通用二次多项式、cos和sin函数。

设特解

和通解

比较，发现和 和通解有相同项。那么，要在现在基础上乘以t。得，

化简，

再比较，没有相同项了。

第二部分

然后，

是由指数函数和cos函数相乘所得。特解中要用指数函数、cos和sin函数。

设特解

然后和通解比较，没有相同项。

最后，

总结