对于学过信号处理的人来说，往往可以脱口而出：实信号是双边谱，复信号是单边谱。但是，若在浅浅地问上一句：为什么？很多人就瞬间语塞，抓耳挠腮，说不出个所以然来。我想，但凡学东西总是要知根知底的好，知其然还要知其所以然。所以本文就把这个大家都很熟悉的结论做一个说明。

1. 实信号频谱

设信号$x(t)$是实信号，其频谱为$X(\omega )$，根据傅里叶变换有
$$X(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt\text{\hspace{1em}(1)}$$
根据欧拉公式有：$e^{-j\omega t}=cos(\omega t)-jsin(\omega t)$，将其带入(1)中有
$$\begin{gathered} X(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)[cos(\omega t)-jsin(\omega t)]dt \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)cos(\omega t)dt-j{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)sin(\omega t)dt\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
进一步地：
$$X(-\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)cos(\omega t)dt+j{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)sin(\omega t)dt\text{\hspace{1em}(2)}$$
所以：
$$\begin{gathered} |X(\omega )|=\sqrt{({\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)cos(\omega t)dt{)}^2+(-{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)sin(\omega t)dt{)}^2}=|X(-\omega )| \\ arg(X(\omega ))=arctan(\frac{-j{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)sin(\omega t)dt}{{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)cos(\omega t)dt})=-arg(X(-\omega )) \end{gathered}$$
从上面的推导结果可见，实信号的频谱在正/负频率轴上幅度相等，角度相反，满足共轭对称性，是一种双边谱。

2. 复信号频谱

如果按照上面的思路，可以假设复信号$x(t)=x_r(t)+j{x}_I(t)$，将其带入傅里叶变换表达式中，但是如果详细去算，发现此时并不是很好从中得出结论。所以本小节我们采用另外一种图形化的简单的理解方法。不失一般地，我们以信号$x(t)=cos({\omega }_{0}t)+jsin({\omega }_{0}t)=exp(j{\omega }_{0}t)$为例进行分析。

上图给出了单频复信号频谱的构成过程(以频率轴为X轴，实轴为Y轴，虚轴为Z轴构建如图所示的三维坐标系，则每个单频信号的频谱可表示为该坐标系中的一个向量)，步骤如下：
(1) 实信号$cos({\omega }_{0}t)$的频谱在上述三维坐标系中表示为两个平行于实轴的等模长向量，满足实信号频谱共轭对称的性质(cos是偶函数，所以正负频率信号完全一样，故正负频率的角度均为0)；
(2) 当$\omega >0$时，$sin({\omega }_{0}t)=-cos({\omega }_{0}t+\frac{\pi }{2})$，所以实信号$sin(\omega t)$在$\omega >0$的频谱是实信号$cos({\omega }_{0}t)$频谱逆时针旋转$\frac{\pi }{2}$然后再反向得到。又因为实信号频谱满足共轭对称性，所以信号$sin({\omega }_{0}t)$在$\omega <0$的频谱与$\omega >0$的频谱是反相的，故得到图中所示$sin({\omega }_{0}t)$的频谱；
(3) 一个信号乘以虚数单位j，等效于在复平面上逆时针旋转90°($j=exp(j\pi /2)$，所以乘以j等效于乘以$exp(j\pi /2)$)，将信号$sin({\omega }_{0}t)$的频谱逆时针旋转90°即可得到图中$jsin({\omega }_{0}t)$的频谱；
(4) 根据欧拉公式，将实信号$cos({\omega }_{0}t)$的频谱和$jsin({\omega }_{0}t)$的频谱叠加即可得到信号$exp(j{\omega }_{0}t)$的频谱。可见最终单频复信号频谱只在正频率上有一根谱线，表现为单边谱。由于所有信号均可表示为多个单频信号叠加，所以多频信号或宽带信号的频谱仍然满足上述推导结论。