在 Markdown 中，数学公式通常通过 LaTeX 语法实现，并依赖渲染引擎（如 MathJax 或 KaTeX）的支持。以下是常见数学公式的写法及示例：

---

1、常用数学公式（符号）

一、基础语法

1. 行内公式

用 $公式$ 或 \\(公式\\) 包裹：

行内公式：$E = mc^2$ 或 \(a^2 + b^2 = c^2\)

行内公式：$E=m{c}^2$ 或 (a^2 + b^2 = c^2)

2. 块级公式

用 $$公式$$ 或 \\[公式\\] 包裹：

$$
\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}
$$

效果：
$$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$

---

二、常用数学符号

1. 上下标

• 上标：x^2 → $x^2$
• 下标：a_1 → $a_1$
• 组合：x^{a+b} → $x^{a+b}$，C_{n,k} → $C_{n,k}$

2. 分式

• \frac{a}{b} → $\frac{a}{b}$
• 行内分式：\dfrac{a}{b} → $\frac{a}{b}$

3. 根号

• 平方根：\sqrt{x} → $\sqrt{x}$
• n次根：\sqrt[3]{x} → $\sqrt[3]{x}$

4. 求和/积分/极限

• 求和：\sum_{i=1}^n → ${\sum }_{i=1}^n$
• 积分：\int_{a}^{b} → ${\int }_a^b$
• 极限：\lim_{x \to \infty} → ${\lim }_{x\to \infty }$

5. 矩阵

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
$$

效果：
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

6. 希腊字母

• \alpha, \beta, \gamma → $\alpha ,\beta ,\gamma$
• \Delta, \Omega → $\Delta ,\Omega$

7. 运算符

• \times, \div, \pm → $\times ,÷,\pm$
• \leq, \geq, \neq → $\le ,\ge ,\ne$

8. 括号调整大小

• \left( \frac{a}{b} \right) → $\left(\frac{a}{b}\right)$

---

三、高级公式示例

1. 方程组

$$
\begin{cases}
x + 2y = 5 \\
3x - y = 1
\end{cases}
$$

效果：
$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 3x-y=1\end{array}$$

2. 多行公式对齐

$$
\begin{aligned}
f(x) &= (a+b)^2 \\
     &= a^2 + 2ab + b^2
\end{aligned}
$$

效果：
$$\begin{array}{rl}f(x)& =(a+b{)}^2\\ & =a^2+2ab+b^2\end{array}$$

3. 概率分布

$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
$$

效果：
$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

---

四、完整示例

$$
\boxed{
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
}
$$

效果：
$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$$

Markdown 中的数学公式几乎可以实现 LaTeX 的所有基础功能，具体取决于渲染引擎的支持程度。

---

在 LaTeX（及 Markdown 中支持的数学环境）中，矩阵可以通过多种方式呈现，涵盖基本结构、特殊符号、对齐调整等高级功能。以下是矩阵的完整功能解析及示例：

2、各类矩阵

一、基础矩阵类型

1. 圆括号矩阵

使用 pmatrix 环境：

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$$

效果：
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

2. 方括号矩阵

使用 bmatrix 环境：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
$$

效果：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$

3. 行列式（竖线）

使用 vmatrix 环境：

$$
\begin{vmatrix}
x & y \\
z & w
\end{vmatrix} = xw - yz
$$

效果：
$$\left|\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right|=xw-yz$$

4. 大括号矩阵

使用 Bmatrix 环境：

$$
\begin{Bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{Bmatrix}
$$

效果：
$$\left\{\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right\}$$

---

二、高级功能

1. 分块矩阵（子矩阵）

使用垂直和水平分隔线 | 和 \hline：

$$
\begin{pmatrix}
A & \big| & B \\
\hline
C & \big| & D
\end{pmatrix}
$$

效果：
$$\left(\begin{array}{ccc}A& |& B\\ C& |& D\end{array}\right)$$

2. 省略号填充

使用 \cdots, \vdots, \ddots：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
2 & \ddots & \cdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & 5 \\
n & \cdots & 5 & 1
\end{bmatrix}
$$

效果：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ 2& \ddots & \cdots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & 5\\ n& \cdots & 5& 1\end{array}\right]$$

3. 对齐元素

通过 & 对齐列，\\ 换行，支持任意列数和行数：

$$
\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\
x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{mn}
\end{pmatrix}
$$

效果：
$$\left(\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1n}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{m1}& x_{m2}& \cdots & x_{mn}\end{array}\right)$$

4. 行内小矩阵

使用 smallmatrix 环境（需在行内公式中使用）：

这是一个小矩阵：$\left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right)$

这是一个小矩阵：$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

5. 增广矩阵

结合列分隔符和 array 环境自定义格式：

$$
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}
\right]
$$

效果：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$

---

三、自定义调整

1. 调整括号大小

使用 \left 和 \right 自动匹配高度：

$$
\left( \begin{matrix}
\frac{a}{b} & c \\
d & e^{f}
\end{matrix} \right)
$$

效果：
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{a}{b}& c\\ d& e^f\end{array}\right)$$

2. 元素间距调整

通过 \mkern 或 \, 增加间距：

$$
\begin{pmatrix}
a & b \mkern 10mu c \\
d & e \,
\end{pmatrix}
$$

效果：
$$\left(\begin{array}{cc}a& bc\\ d& e\end{array}\right)$$

3. 矩阵中的文本

使用 \text{} 插入非数学字符：

$$
\begin{pmatrix}
\text{行1列1} & \text{行1列2} \\
\text{行2列1} & \text{行2列2}
\end{pmatrix}
$$

效果：
$$\left(\begin{array}{cc}\text{行1列1}& \text{行1列2}\\ \text{行2列1}& \text{行2列2}\end{array}\right)$$

---

四、特殊矩阵类型

1. 零矩阵 / 单位矩阵

使用 \mathbb{1} 或自定义符号：

$$
\mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

效果：
$$0=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

2. 复数矩阵

使用 \mathbf{i} 或 \imath：

$$
\begin{pmatrix}
1 + \mathbf{i} & 2 - 3\mathbf{i} \\
4\mathbf{i} & 5
\end{pmatrix}
$$

效果：
$$\left(\begin{array}{cc}1+\mathbf{i}& 2-3\mathbf{i}\\ 4\mathbf{i}& 5\end{array}\right)$$

---

五、完整示例

$$
\boxed{
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
1 & \cdots & \lambda_1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_n & \cdots & 1
\end{pmatrix}, \quad
\det(\mathbf{A}) = \prod_{i=1}^n (1 - \lambda_i^2)
}
$$

效果：
$$\boxed{\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & {\lambda }_1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_n& \cdots & 1\end{array}\right),\det (\mathbf{A})=\prod _{i=1}^n(1-{\lambda }_i^2)}$$

通过上述功能，可以灵活创建从基础到复杂的各类矩阵，满足学术论文、技术文档等场景的需求。

---

3、大学数学基础公式

高等数学、概率论和线性代数领域的常见公式，结合了 LaTeX 语法进行表达：

一、高等数学

1. 微积分

• 导数与微分

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

微分：$$dy = f'(x) \, dx$$
幂函数：$$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$
指数函数：$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$ 
对数函数：$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$  

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

微分：$$dy=f^{\prime }(x)dx$$
幂函数：$$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$$
指数函数：$$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$$
对数函数：$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$

• 链式法则

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

• 积分

不定积分：$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$

定积分：$\int_{a}^{b} e^x \, dx = e^b - e^a$

分部积分：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$  

不定积分：$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$

定积分：${\int }_a^b{e}^{x}dx=e^b-e^a$

分部积分：$\int udv=uv-\int vdu$

• 极限

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

• 洛必达法则

若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，则  $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 

若 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$，则 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

• 泰勒展开

$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$

效果：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

2. 多元函数

• 偏导数

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + \cos(x)$

效果：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+\cos (x)$$

• 重积分

$$
\iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy, \quad \iiint_{\Omega} \rho(x,y,z) \, dV
$$

效果：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy,{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dV$$

• 梯度、散度与旋度

梯度：$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
$$


散度：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
$$

梯度：$$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$$

散度：$$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

3. 微分方程

• 常微分方程

一阶线性微分方程：$$y' + P(x)y = Q(x)$$

解：$$y = e^{-\int P \, dx} \left( \int Q e^{\int P \, dx} \, dx + C \right)$$

一阶线性微分方程：$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$

解：$$y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right)$$

• 二阶方程

齐次方程：$$y'' + py' + qy = 0$$

特征方程：$$r^2 + pr + q = 0$$

齐次方程：$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$$

特征方程：$$r^2+pr+q=0$$

• 二阶常系数齐次方程

方程：$y'' + py' + qy = 0$  
特征方程：$r^2 + pr + q = 0$  
解：  
- 实根 $r_1 \neq r_2$：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$  
- 重根 $r_1 = r_2$：$y = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x}$  
- 复根 $\alpha \pm \beta i$：$y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

方程：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$
特征方程：$r^2+pr+q=0$
解：

• 实根 $r_1\ne r_2$：$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
• 重根 $r_1=r_2$：$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$
• 复根 $\alpha \pm \beta i$：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

4. 级数与展开

• 泰勒级数

函数展开：  
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n
$$ 

函数展开：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

• 傅里叶级数

周期为 $2L$ 的展开：  
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right)
$$  
系数：  
$$
a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} \, dx, \quad
b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx
$$

周期为 $2L$ 的展开：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{L}+b_n\sin \frac{n\pi x}{L}\right)$$
系数：
$$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx,b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$$

5. 高级公式示例

• 高斯积分

$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}
$$  

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

• 斯托克斯定理

$$
\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
$$ 

$${\oint }_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$

---

二、概率论

1. 概率分布

• 离散型

二项分布：$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

泊松分布：$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

二项分布：$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

泊松分布：$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$

• 连续型

正态分布：$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
指数分布：$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0)$$
均匀分布：$$ f(x) = \frac{1}{b - a}, \quad a \leq x \leq b $$

正态分布：$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
指数分布：$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}(x\ge 0)$$
均匀分布：$$f(x)=\frac{1}{b-a},a\le x\le b$$

2. 期望与方差

期望：$$E(X) = \sum x_i p_i = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$

方差：$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

期望：$$E(X)=\sum x_i{p}_i={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$$

方差：$$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{2}f(x)dx-{\left({\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\right)}^2$$

3. 统计推断

• 大数定律

$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu \quad (n \to \infty)
$$

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\mu (n\to \infty )$$

• 中心极限定理

$$
\frac{\sum X_i - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)
$$

$$\frac{\sum X_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$$

4. 协方差与相关性

• 协方差

---

三、线性代数

1. 矩阵与向量

• 矩阵乘法

$$ C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj} $$

$$C=AB,C_{ij}=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}{B}_{kj}$$

• 转置矩阵

$$ (A^T)_{ij} = A_{ji} $$

$$(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$$

• 矩阵的迹

$$ \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n A_{ii} $$

$$\text{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{A}_{ii}$$

• 逆矩阵

$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) $$

$$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$$

• 伴随矩阵

$$ \text{adj}(A) = \text{cof}(A)^T $$

$$\text{adj}(A)=\text{cof}(A{)}^T$$

• 矩阵的秩

$$ \text{rank}(A) = \text{最大线性无关行数或列数} $$

$$\text{rank}(A)=\text{最大线性无关行数或列数}$$

• 行列式

2阶行列式：$$\det(A) = ad - bc$$

3阶行列式（展开式）：$$\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

2阶行列式：$$\det (A)=ad-bc$$

3阶行列式（展开式）：$$\det (A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$$

行列式的基本性质

• 交换两行（列）会改变行列式的符号
• 如果某一行（列）是零，则行列式为零
• 如果某行（列）是另一行（列）的线性组合，则行列式为零

---

2. 特征值与特征向量

特征方程

$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

$$\det (A-\lambda I)=0$$

特征向量

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$

$$(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$$

特征值的多重性

• 代数重数：特征值作为多项式根的重数
• 几何重数：特征值对应的线性无关特征向量的个数

3. 线性方程组

• 齐次方程

基础解系：$$\mathbf{x} = k_1 \mathbf{v}_1 + k_2 \mathbf{v}_2 + \dots + k_r \mathbf{v}_r$$

基础解系：$$\mathbf{x}=k_1{\mathbf{v}}_1+k_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +k_r{\mathbf{v}}_r$$

• 非齐次方程

通解（特解 + 齐次解）：$$\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h$$（特解 + 齐次解）

通解（特解 + 齐次解）：$$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_h$$

4. 线性变换

• 线性变换

$$ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} $$

$$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$$

• 线性变换的特征值与特征向量

对于线性变换 (T) 的矩阵表示 (A)，其特征值 (\lambda) 和特征向量 (\mathbf{v}) 满足：

$$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$

$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

5. 向量空间

• 子空间

$$ \mathbf{S} \subseteq \mathbb{R}^n \quad (\text{满足加法封闭性和数乘封闭性}) $$

$$\mathbf{S}\subseteq {\mathbb{R}}^n(\text{满足加法封闭性和数乘封闭性})$$

• 基的定义

$$ \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_r \} \quad (\text{线性无关，张成空间}) $$

{v1,v2,…,vr}(线性无关，张成空间) \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_r \} \quad (\text{线性无关，张成空间}) {v1​,v2​,…,vr​}(线性无关，张成空间)

• 维度

$$ \dim(V) = r $$

$$\dim (V)=r$$

6. 正定矩阵与半正定矩阵

• 正定矩阵的定义

$$ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0, \quad \forall \mathbf{x} \neq 0 $$

$${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0,\forall \mathbf{x}\ne 0$$

• 半正定矩阵的定义

$$ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \geq 0, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $$

$${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}\ge 0,\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$$

7. 奇异值分解 (SVD)

$$ A = U \Sigma V^T $$

$$A=U\Sigma V^T$$

• ( U ) 是列正交矩阵，包含左奇异向量。
• ( \Sigma ) 是对角矩阵，包含奇异值。
• ( V ) 是行正交矩阵，包含右奇异向量。

---

四、高级公式示例

1. 傅里叶级数

$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right)
$$

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{L}+b_n\sin \frac{n\pi x}{L}\right)$$

2. 协方差矩阵

$$
\Sigma = \begin{pmatrix}
\sigma_1^2 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1n} \\
\sigma_{21} & \sigma_2^2 & \cdots & \sigma_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_n^2
\end{pmatrix}
$$

$$\Sigma =\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& \cdots & {\sigma }_{1n}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_2^2& \cdots & {\sigma }_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{n1}& {\sigma }_{n2}& \cdots & {\sigma }_n^2\end{array}\right)$$

3. 拉普拉斯变换

$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt
$$

L{f(t)}=∫0∞e−stf(t) dt \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt L{f(t)}=∫0∞​e−stf(t)dt

---

五、格式优化技巧

1. 多行公式对齐

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &= 1 \\
\int \ln x \, dx &= x \ln x - x + C
\end{aligned}
$$

效果：
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}& =1\\ \int \ln xdx& =x\ln x-x+C\end{array}$$

$$
\begin{aligned}
f(x) &= \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, dt \\
     &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)}
\end{aligned}
$$  

$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\int }_0^x{e}^{-t^2}dt\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{n!(2n+1)}\end{array}$$

2. 分段函数

$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 & x \geq 0 \\
0 & x < 0
\end{cases}
$$

效果：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$

3. 定理环境（需宏包支持）

\begin{theorem}[勾股定理]
直角三角形斜边平方等于两直角边平方和：$c^2 = a^2 + b^2$
\end{theorem}

---

你可以根据需要将这些公式嵌入到 Markdown 文件中，并通过 LaTeX 渲染进行优化展示。在撰写数学类文章时，这种方法会大大提升文档的可读性和专业感。