概率论中二项分布期望与方差的详细推导

概率论中二项分布期望与方差的详细推导过程

Zack_0013

19093人浏览 · 2023-11-13 19:47:34

Zack_0013 · 2023-11-13 19:47:34 发布

二项分布的期望和方差表达式非常简洁，但推导过程却很灵活，我们做如下推导:

1. 二项分布的期望E(X)

概率论中，离散型随机变量期望的定义为

$E(X)=\sum kP\{X=k\}$

二项分布概率公式为：

$P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

则其期望为：

$E(X)=\sum_{i=0}^{n} iC_{n}^{i}p^i(1-p)^{n-i}$

我们记

$1-p=q$

则

$E(x)=0\times C_{n}^{0}p^0q^n+1\times C_{n}^{1}p^1q^{n-1}+\cdots+n\times C_{n}^{n}p^nq^{0}$

因为

$iC_{n}^{i}=i\times \frac{n!}{i!(n-i)!}=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}=n\times \frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}=nC_{n-1}^{i-1}$

所以

$E(x)=n\times C_{n-1}^{1-1}p^1q^{n-1}+n\times C_{n-1}^{2-1}p^2q^{n-2}+\cdots+n\times C_{n-1}^{n-1}p^nq^{0}\newline\newline=np\times C_{n-1}^{0}p^0q^{n-1}+np\times C_{n-1}^{1}p^1q^{n-2}+\cdots+np\times C_{n-1}^{n-1}p^{n-1}q^{0}\newline\newline=np(C_{n-1}^{0}p^0q^{n-1}+ C_{n-1}^{1}p^1q^{n-2}+\cdots+C_{n-1}^{n-1}p^{n-1}q^{0})$

根据二项式展开定理，有

$C_{n-1}^{0}p^0q^{n-1}+ C_{n-1}^{1}p^1q^{n-2}+\cdots+C_{n-1}^{n-1}p^{n-1}q^{0}=(q+p)^{n-1}$

所以原式

$E(x)=np(C_{n-1}^{0}p^0q^{n-1}+ C_{n-1}^{1}p^1q^{n-2}+\cdots+C_{n-1}^{n-1}p^{n-1}q^{0})\newline\newline=np(q+p)^{n-1}\newline\newline=np(1-p+p)^{n-1}\newline\newline=np$

2. 二项分布的方差D(X)

概率论中，方差的定义为

$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$

因为上文已经得到E(X)，所以现在只需求前者，与上文同理:

$E(X^2)=\sum_{i=0}^{n} i^2C_{n}^{i}p^iq^{n-i}\newline\newline=C_{n}^{1}p^1q^{n-1}+\sum_{i=2}^{n} i^2C_{n}^{i}p^iq^{n-i}\newline\newline=npq^{n-1}+\sum_{i=2}^{n} inC_{n-1}^{i-1}p^iq^{n-i}\newline\newline=npq^{n-1}+\sum_{i=2}^{n} (i-1+1)nC_{n-1}^{i-1}p^iq^{n-i}\newline\newline=npq^{n-1}+\sum_{i=2}^{n} (i-1)nC_{n-1}^{i-1}p^iq^{n-i}+\sum_{i=2}^{n} nC_{n-1}^{i-1}p^iq^{n-i}\newline\newline= npq^{n-1}+\sum_{i=2}^{n} n(n-1)C_{n-2}^{i-2}p^iq^{n-i}+\sum_{i=2}^{n} nC_{n-1}^{i-1}p^iq^{n-i}\newline\newline=npq^{n-1}+n(n-1)p^2(q+p)^{n-2}+\sum_{i=1}^{n} nC_{n-1}^{i-1}p^iq^{n-i}-nC_{n-1}^{0}pq^{n-1}\newline\newline=npq^{n-1}+n(n-1)p^2(q+p)^{n-2}+np(q+p)^{n-1}-npq^{n-1}$

整理得:

$E(X^2)=n(n-1)p^2(q+p)^{n-2}+np(q+p)^{n-1}\newline\newline=n(n-1)p^2+np\newline\newline=n^2p^2-np^2+np\newline\newline=np(1-p)+n^2p^2\newline\newline=npq+n^2p^2$

综上所述，方差既为：

$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\newline\newline=npq+n^2p^2-(np)^2\newline\newline=npq\newline\newline=np(1-p)$

希望这个详细的推导过程对你的数学思维有帮助!

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