【学习笔记】傅里叶变换：方形函数，三角函数

时空昂

23454人浏览 · 2020-03-24 23:42:20

时空昂 · 2020-03-24 23:42:20 发布

方形函数：

方形函数图像
$F(ω)=∫−t0t0A⋅e−jωtdtF\left( \omega \right) =\int ^{t_{0}}_{-t_{0}}A\cdot e^{-j\omega t}{dt}$
$=Ajω(ejωt0−e−jωt0)=\dfrac {A}{j\omega }\left( e^{j\omega t_{0}}-e^{-j\omega t_{0}}\right)$
$=Ajω⋅2jsin⁡ωt0=\dfrac {A}{j\omega }\cdot 2j\sin \omega t_{0}$
$=A⋅2t0sin⁡ωt0ωt0=A\cdot \dfrac {2t_{0}\sin \omega t_{0}}{\omega t_{0}}$
$=2At0⋅Sa(ωt0)=2At_{0}\cdot S_{a}\left( \omega t_{0}\right)$
即： $A[u(t+t0)−u(t−t0)]⇔2At0Sa(ωt0)\begin{aligned}A\left[ u\left( t+t_{0}\right) -u\left( t-t_{0}\right) \right] \Leftrightarrow 2At_{0}Sa\left( \omega t_{0}\right) \end{aligned}$

三角函数：

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三角函数图像
先特殊化：令 $t_{0}$ =1,A=1;
则： $F(ω)=∫−10(1+t)e−jωtdt+∫01(1−t)e−jωtdtF\left( \omega \right) =\int ^{0}_{-1}\left( 1+t\right) e^{-j\omega t}dt+\int ^{1}_{0}\left( 1-t\right) e^{-j\omega t}dt$
分部积分：
$=[(1+t)⋅e−jωt−jω‾]−10+∫−10e−jωtjωdt+[(1−t)⋅e−jωt−jω‾]01+∫01e−jωtjωd(1−t)=\begin{bmatrix} \left( 1+t\right) \cdot e^{-j\omega t} \\ \overline {-j\omega } \end{bmatrix}^{0}_{-1}+\int ^{0}_{-1}\dfrac {e^{-j\omega t}}{j\omega }dt+\begin{bmatrix} \left( 1-t\right) \cdot e^{-j\omega t} \\ \overline {-j\omega } \end{bmatrix}^{1}_{0}+\int ^{1}_{0}\dfrac {e^{-j\omega t}}{j\omega }d\left( 1-t\right)$
$=1−jω+1−ejωω2+1jω+1−e−jωω2=\dfrac {1}{-j\omega }+\dfrac {1-e^{j\omega }}{\omega ^{2}}+\dfrac {1}{j\omega }+\dfrac {1-e^{-j\omega }}{\omega ^{2}}$
$=2−ejω−e−jωω2=\dfrac {2-e^{j\omega }-e^{-j\omega }}{\omega ^{2}}$
又因为： $cos⁡w=1−2sin2ω2\cos w=1-2sin^{2}\dfrac {\omega }{2}$