一、正定矩阵与正定函数

1.1 正定函数定义

[正定函数] 若实函数 $V(x)$ 对任意 n 维非零向量 $x$ 都有 $V(x)>0$，当且仅当 $x=0$ 时，$V(x)=0$，则称函数 $V(x)$ 为正定函数。

[半正定函数] 如果 $x\ne 0,V(x)\ge 0$，则称 $V(x)$ 为半正定函数。
[负定函数] 如果 $x\ne 0,V(x)<0$，则称 $V(x)$ 为负定函数。
[半负定函数] 如果 $x\ne 0,V(x)\le 0$，则称 $V(x)$ 为半负定函数。

1.2 正定矩阵与正定二次型

若矩阵 $A$ 是n 阶方阵，对于任意非零向量 $x$，都有$x^{T}Ax>0$，则矩阵 $A$ 是正定矩阵，函数 $x^{T}Ax$ 称为矩阵 $A$ 对应的正定二次型。

半正定、负定和半负定以此类推，不再赘述。

例如：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

$$V(x)=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]A\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=x_1^2+x_2^2\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

就是一个正定二次型。因为当且仅当 $x=[x_1,x_2{]}^T=[0,0{]}^T$ 时，$V(x)=0$，否则 $V(x)>0$，满足定义。

而

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$$

$$V(x)=(x_1-x_2{)}^2\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

是一个半正定函数。因为 $V(x)\ge 0$，当 $x_1=x_2$ 时，$V(x)=0$。

1.3 二次型图像

正定二次型有个很好的性质——有唯一的全局最小值。

以二阶矩阵为例，分别绘制正定$A_1$、半正定$A_2$、负定$A_3$、不定$A_4$二次型的图像，对应的矩阵分别取：

$$A_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]A_2=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]A_3=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]A_4=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

[x1, x2] = meshgrid(-2:0.1:2);
subplot(221);mesh(x1, x2, x1.^2 + x2.^2);               % A1 = [1 0; 0 1];
subplot(222);mesh(x1, x2, x1.^2 + x2.^2 - 2*x1.*x2);    % A2 = [1 -1; -1 1];
subplot(223);mesh(x1, x2, -x1.^2 - x2.^2);              % A3 = [-1 0; 0 -1];
subplot(224);mesh(x1, x2, x1.^2 - x2.^2);               % A4 = [1 0; 0 -1];

可见，二阶正定矩阵对应的二次型图像是一个开口朝上旋转抛物面，在原点处有唯一最小值。有唯一最小值是一个很好的性质，因为最优化问题往往就是计算一个最小值。

二、正定函数的应用

正定函数的一个应用就是著名的Lyapunov函数，常常希望找到正定的 $V(x)$ 和 负定的 $\dot{V}(x)$，这样原系统就是稳定的。比如状态空间方程：

$$\dot{x}=-x\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

其中，$x$ 为系统的一个状态。选择
$$V(x)=\frac{1}{2}{x}^2\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

则：

$$\dot{V}(x)=x\dot{x}=-x^2\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

$V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 负定，式(2.3) 表示的系统是稳定的。再看看式(2.1)，当 $x>0$ 时，$\dot{x}<0$，$x$ 将朝着原点移动；$x<0$ 时，$\dot{x}>0$，$x$ 依旧朝着原点移动。因此，如果 $x$ 代表着小球的位移，那么小球总会回到原点，说原点是稳定的理所当然。实际上，式子(2.4) 这个二次函数有着能量的含义，原点能量是最低的，小球总会滚到原点。再次看式(2.1)，其解为 $x=e^{-t}$，随着时间推移，$x$ 会不断趋近于 0，也可以看出 $x$ 是稳定的。可见，Lyapunov函数、原方程、原方程的解都能用来分析稳定性。但实际情况中，往往原方程不直观，原方程解很复杂甚至没有解析解，而Lyapunov函数设计可能更为方便（有时也并不容易），因此得到广泛运用。

最后再感悟一下正定函数的美妙性。$V(x)>0$，$\dot{V}(x)<0$ 这个条件实在太强了，保证了某点领域内有唯一的最小值。如果对全部的 $x$ 都成立，那么该点就是全局的最小值点，也就是全局稳定的。

— 完 —