注：本文中，
带箭头的粗体字母（如$\vec{\mathbf{n}}$）表示 三维向量
不带箭头的粗体字母（如$\mathbf{q}$）表示 四元数
顶上带尖尖的粗体字母（如$\hat{\mathbf{q}}$）表示 对偶四元数

一、四元数

1.1 定义 与运算法则

四元数可以理解为一种4维超复数，由一个实数部分和一个三维复数部分组成：
$$\mathbf{q}=s+v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}$$
其中：${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=\mathbf{ijk}=-1$

四元数也可以表示为：
$$\mathbf{q}=s+\vec{\mathbf{v}}=[s,\vec{\mathbf{v}}]=\left(\begin{array}{c}s\\ \vec{\mathbf{v}}\end{array}\right)$$
都是可以的。

对于一个四元数 $\mathbf{q}=[s,\vec{\mathbf{v}}]$ ，有如下定义：

• 共轭：${\mathbf{q}}^{\ast }=[s,-\vec{\mathbf{v}}]$
• 模长：$\Vert \mathbf{q}\Vert =\sqrt{{\mathbf{q}}^{\ast }\mathbf{q}}=\sqrt{\mathbf{q}{\mathbf{q}}^{\ast }}=\sqrt{s^2+\Vert \vec{\mathbf{v}}{\Vert }^2}=\sqrt{s^2+v_x^2+v_y^2+v_z^2}$
• 逆：${\mathbf{q}}^{-1}=\frac{{\mathbf{q}}^{\ast }}{\Vert \mathbf{q}{\Vert }^2}$

对于两个四元数 ${\mathbf{q}}_a=[s_a,{\vec{\mathbf{v}}}_a]$ 和 ${\mathbf{q}}_b=[s_b,{\vec{\mathbf{v}}}_b]$ ，运算性质如下：

• 数乘：$k\mathbf{q}=[ks,k\vec{\mathbf{v}}]$
• 加法：${\mathbf{q}}_a+{\mathbf{q}}_b=[s_a+s_b,{\vec{\mathbf{v}}}_a+{\vec{\mathbf{v}}}_b]$
• 乘法：${\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b=[s_a{s}_b-{\vec{\mathbf{v}}}_a^{\mathrm{T}}{\vec{\mathbf{v}}}_b,s_a{\vec{\mathbf{v}}}_b+s_b{\vec{\mathbf{v}}}_a+{\vec{\mathbf{v}}}_a\times {\vec{\mathbf{v}}}_b]$
• 点乘：${\mathbf{q}}_a\cdot {\mathbf{q}}_b=s_a{s}_b+{\vec{\mathbf{v}}}_a^{\mathrm{T}}{\vec{\mathbf{v}}}_b=\frac{{\mathbf{q}}_a^{\ast }{\mathbf{q}}_b+{\mathbf{q}}_b^{\ast }{\mathbf{q}}_a}{2}$
• 共轭性质：$({\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b{)}^{\ast }={\mathbf{q}}_b^{\ast }{\mathbf{q}}_a^{\ast }$
• 向量叉乘：${\vec{\mathbf{v}}}_a\times {\vec{\mathbf{v}}}_b=\frac{1}{2}({\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b+{\mathbf{q}}_b{\mathbf{q}}_a^{\ast }{)}^{[附录B.1]}$

1.2 单位四元数

单位四元数，指模长为 $1$ 的四元数，即 $\Vert \mathbf{q}\Vert =1$
任意四元数乘以单位四元数，模长不变
$$\mathbf{q}{\mathbf{q}}^{\ast }=l^2,{\mathbf{q}}_u{\mathbf{q}}_u^{\ast }=1⟹\mathbf{q}{\mathbf{q}}_u(\mathbf{q}{\mathbf{q}}_u{)}^{\ast }=\mathbf{q}{\mathbf{q}}_u{\mathbf{q}}_u^{\ast }{\mathbf{q}}^{\ast }=l^2$$
两个单位四元数相乘仍是单位四元数
此性质对 对偶四元数 同样成立

有三种比较特殊的单位四元数：

1. $\mathbf{q}=[1,0]$
2. $\mathbf{q}=[0,\vec{\mathbf{u}}]$，其中 $\vec{\mathbf{u}}$ 为单位向量
3. $\mathbf{q}=[\cos \frac{\theta }{2},\vec{\mathbf{u}}\sin \frac{\theta }{2}]$

1.3 旋转四元数

单位四元数中的第 3 种 $\mathbf{q}=[\cos \frac{\theta }{2},\vec{\mathbf{u}}\sin \frac{\theta }{2}]$ 是我们常用的旋转四元数，
其中 $\vec{\mathbf{u}}$ 表示旋转轴，$\theta$ 表示绕旋转轴旋转的角度，
对于空间向量 $\vec{\mathbf{v}}$，使用四元数 $\mathbf{q}$ 对其旋转可以表示为：
$${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{q}\mathbf{v}{\mathbf{q}}^{\ast }$$
其中 $\mathbf{v}=[0,\vec{\mathbf{v}}]$，${\mathbf{v}}^{\prime }=[0,{\vec{\mathbf{v}}}^{\prime }]$

这个单位四元数还有一个性质，若两个转轴相同的四元数： ${\mathbf{q}}_{\alpha }=[\cos \frac{\alpha }{2},\vec{\mathbf{u}}\sin \frac{\alpha }{2}]$，${\mathbf{q}}_{\beta }=[\cos \frac{\beta }{2},\vec{\mathbf{u}}\sin \frac{\beta }{2}]$
那么：
$${\mathbf{q}}_{\alpha }{\mathbf{q}}_{\beta }=[\cos \frac{\alpha +\beta }{2},\vec{\mathbf{u}}\sin \frac{\alpha +\beta }{2}]={\mathbf{q}}_{\alpha +\beta }$$

易得：
$${\mathbf{q}}^t=\cos (\frac{t\theta }{2})+\vec{\mathbf{u}}\sin (\frac{t\theta }{2})$$

1.4 旋转四元数的求导

假设四元数 $\mathbf{q}$ 是关于时间 $t$ 的函数，该四元数旋转的角速度为 $\vec{\mathbf{\omega }}$
那么，
$${\mathbf{q}}_t=\cos (\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert t}{2})+\frac{\vec{\mathbf{\omega }}}{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert }\sin (\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert t}{2})$$

则，
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{q}}_t^{\prime }& =-\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert }{2}\sin (\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert t}{2})+\frac{\vec{\mathbf{\omega }}}{2}\cos (\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert t}{2})\\ & =-\frac{{\vec{\mathbf{\omega }}}^{\mathrm{T}}\vec{\mathbf{\omega }}}{2\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert }\sin (\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert t}{2})+\frac{\vec{\mathbf{\omega }}}{2}\cos (\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert t}{2})\\ & =-\frac{\vec{\mathbf{\omega }}}{2}\cdot \frac{\vec{\mathbf{\omega }}}{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert }\sin (\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert t}{2})+\frac{\vec{\mathbf{\omega }}}{2}\cos (\frac{\Vert \vec{\mathbf{\omega }}\Vert t}{2})\end{array}$$

记四元数 ${\mathbf{q}}_{\omega }=[0,\frac{\vec{\mathbf{\omega }}}{2}]$，那么，
$${\mathbf{q}}_t^{\prime }={\mathbf{q}}_{\omega }{\mathbf{q}}_t$$

二、对偶数

对偶数给我感觉就是一种特殊的复数，它表示为：
$$\hat{d}=a+\epsilon b$$
其中：${\epsilon }^2=0$

性质：
将 $f(\hat{d})$ 在 $a$ 点使用泰勒展开式
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a+\epsilon b)& =f(a)+\epsilon b{f}^{\prime }(a)+{\epsilon }^2\frac{b^2}{2!}{f}^{\prime \prime }(a)+\dots \\ & =f(a)+\epsilon b{f}^{\prime }(a)\end{array}$$

三、对偶四元数

融合了 四元数 和 对偶数 两个玩意的东西：
$$\hat{\mathbf{q}}={\mathbf{q}}_0+\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }$$

3.1 定义 与运算法则

对于一个对偶四元数 $\hat{\mathbf{q}}={\mathbf{q}}_0+\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }$ ，有如下定义：

• 共轭：${\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }={\mathbf{q}}_0^{\ast }+\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }^{\ast }$
• 对偶共轭：$\overline{\hat{\mathbf{q}}}={\mathbf{q}}_0-\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }$
• 双共轭：$\overline{{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }}={\mathbf{q}}_0^{\ast }-\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }^{\ast }$
• 模长：$\Vert \hat{\mathbf{q}}\Vert =\sqrt{{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }\hat{\mathbf{q}}}=\sqrt{\hat{\mathbf{q}}{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }}=\Vert {\mathbf{q}}_0\Vert +\epsilon \frac{{\mathbf{q}}_0\cdot {\mathbf{q}}_{\epsilon }}{\Vert {\mathbf{q}}_0\Vert }$
• 逆：${\hat{\mathbf{q}}}^{-1}=\frac{{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }}{\Vert \hat{\mathbf{q}}{\Vert }^2}$

对于两个四元数 ${\hat{\mathbf{q}}}_a={\mathbf{q}}_{a0}+\epsilon {\mathbf{q}}_{a\epsilon }$ 和 ${\hat{\mathbf{q}}}_b={\mathbf{q}}_{b0}+\epsilon {\mathbf{q}}_{b\epsilon }$ ，运算性质如下：

• 数乘：$k\hat{\mathbf{q}}=k{\mathbf{q}}_0+\epsilon k{\mathbf{q}}_{\epsilon }$
• 加法：${\hat{\mathbf{q}}}_a+{\hat{\mathbf{q}}}_b={\mathbf{q}}_{a0}+{\mathbf{q}}_{b0}+\epsilon ({\mathbf{q}}_{a\epsilon }+{\mathbf{q}}_{b\epsilon })$
• 乘法：${\hat{\mathbf{q}}}_a{\hat{\mathbf{q}}}_b={\mathbf{q}}_{a0}{\mathbf{q}}_{b0}+\epsilon ({\mathbf{q}}_{a0}{\mathbf{q}}_{b\epsilon }+{\mathbf{q}}_{a\epsilon }{\mathbf{q}}_{b0})$
• 共轭性质：$({\hat{\mathbf{q}}}_a{\hat{\mathbf{q}}}_b{)}^{\ast }={\hat{\mathbf{q}}}_b^{\ast }{\hat{\mathbf{q}}}_a^{\ast },\overline{{\hat{\mathbf{q}}}_a{\hat{\mathbf{q}}}_b}=\overline{{\hat{\mathbf{q}}}_a}\overline{{\hat{\mathbf{q}}}_b},\overline{({\hat{\mathbf{q}}}_a{\hat{\mathbf{q}}}_b{)}^{\ast }}=\overline{{\hat{\mathbf{q}}}_b^{\ast }}\overline{{\hat{\mathbf{q}}}_a^{\ast }}$

3.2 单位 对偶四元数

满足 $\Vert \hat{\mathbf{q}}\Vert =1$ 的对偶四元数，称为单位对偶四元数。
即
$${\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }\hat{\mathbf{q}}=1⟶\{\begin{array}{rl}& \Vert {\mathbf{q}}_0\Vert =1\\ & {\mathbf{q}}_0\cdot {\mathbf{q}}_{\epsilon }=0\end{array}$$

常用单位对偶四元数有3种
① ${\mathbf{q}}_{\epsilon }=0$，${\mathbf{q}}_0$ 为任意单位四元数。如 $\hat{\mathbf{q}}={\mathbf{q}}_0=(\cos \frac{\theta }{2},\vec{\mathbf{u}}\sin \frac{\theta }{2})$，其中 $\Vert \vec{\mathbf{u}}\Vert =1$
② ${\mathbf{q}}_0=1$，${\mathbf{q}}_{\epsilon }$ 标量部分为 $0$。如 $\hat{\mathbf{q}}=1+\epsilon \vec{\mathbf{t}}$
③ ${\mathbf{q}}_0$ 为单位向量，${\mathbf{q}}_{\epsilon }$ 是与 ${\mathbf{q}}_0$ 垂直的向量。如 $\hat{\mathbf{q}}=\vec{\mathbf{u}}+\epsilon \vec{\mathbf{m}}$，其中 $\Vert \vec{\mathbf{u}}\Vert =1,\vec{\mathbf{m}}\perp \vec{\mathbf{u}}$

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3.3 对偶四元数表示旋转与平移

在使用 四元数 和 对偶四元数 表示旋转时，我们一般将被操作的三维向量 $\vec{\mathbf{v}}$ 的四元数和对偶四元数分别记为：
$$\{\begin{array}{rl}\mathbf{v}& =0+\vec{\mathbf{v}}\\ \hat{\mathbf{v}}& =1+\epsilon \vec{\mathbf{v}}\end{array}$$

3.3.1 旋转

对偶四元数表示旋转，与普通四元数非常类似，即对偶部分为 $0$：${\mathbf{r}}_{\epsilon }=0$
记：
$$\hat{\mathbf{r}}=\cos \frac{\theta }{2}+\vec{\mathbf{u}}\sin \frac{\theta }{2}$$
则对 对偶四元数 $\hat{\mathbf{v}}$ 进行旋转可以表示为：
$${\hat{\mathbf{v}}}^{\prime }=\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{v}}\overline{{\hat{\mathbf{r}}}^{\ast }}=1+\epsilon {\mathbf{r}}_0\mathbf{v}{\mathbf{r}}_0^{\ast }$$
因为 ${\mathbf{r}}_{\epsilon }=0$，所以这里其实 $\overline{{\hat{\mathbf{r}}}^{\ast }}$ 就是 ${\mathbf{r}}_0^{\ast }$

3.3.2 平移

对偶四元数 可以表示 普通四元数 无法表示的三维空间平移
对于三维坐标的平移： $\vec{\mathbf{t}}=(t_x,t_y,t_z{)}^{\mathrm{T}}$，将其对偶四元数记为：
$$\hat{\mathbf{t}}=1+\epsilon \frac{\vec{\mathbf{t}}}{2}$$

则对 对偶四元数 $\mathbf{v}$ 进行平移可以表示为：
$${\hat{\mathbf{v}}}^{\prime }=\hat{\mathbf{t}}\hat{\mathbf{v}}\overline{{\hat{\mathbf{t}}}^{\ast }}=1+\epsilon (\vec{\mathbf{v}}+\vec{\mathbf{t}})$$

3.3.3 旋转+平移

使用对偶四元数表示旋转与平移的方式都知道了以后，对一个物体同时进行旋转平移 最简单的办法就是：
$${\hat{\mathbf{v}}}^{\prime }=\hat{\mathbf{t}}(\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{v}}\overline{{\hat{\mathbf{r}}}^{\ast }})\overline{{\hat{\mathbf{t}}}^{\ast }}=1+\epsilon ({\mathbf{r}}_0\mathbf{v}{\mathbf{r}}_0^{\ast }+\vec{\mathbf{t}})$$
或
$${\hat{\mathbf{v}}}^{\prime }=\hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{t}}\hat{\mathbf{v}}\overline{{\hat{\mathbf{t}}}^{\ast }})\overline{{\hat{\mathbf{r}}}^{\ast }}=1+\epsilon {\mathbf{r}}_0(\vec{\mathbf{v}}+\vec{\mathbf{t}}){\mathbf{r}}_0^{\ast }$$
分别表示 先旋转后平移 与 先平移后旋转。

3.3.4 使用对偶四元数对直线进行三维变换

3.3.4.1 普吕克坐标系(Plücker coordinates) 与 四元数

我们可以使用 直线的方向向量$\vec{\mathbf{l}}$ 和 直线上一点$\vec{\mathbf{p}}$ 来确定一条直线。
此时，我们称 $\vec{\mathbf{m}}=\vec{\mathbf{p}}\times \vec{\mathbf{l}}$ 为直线的矩。
那么直线的对偶四元数可以表示为：
$$\hat{\mathbf{l}}=\mathbf{l}+\epsilon \mathbf{m}$$
其中，四元数 $\{\begin{array}{rl}\mathbf{l}& =0+\vec{\mathbf{l}}\\ \mathbf{m}& =0+\vec{\mathbf{m}}\end{array}$，且 $\vec{\mathbf{l}}$ 为单位向量

3.3.4.2 对直线的三维变换

假设一条直线 ${\hat{\mathbf{l}}}_b={\mathbf{l}}_b+\epsilon {\mathbf{m}}_b$ 经过旋转与平移 $(\mathbf{R},\vec{\mathbf{t}})$ 后，成为了直线 ${\hat{\mathbf{l}}}_a={\mathbf{l}}_a+\epsilon {\mathbf{m}}_a$，
那么他们满足：
$$\begin{array}{rl}{\vec{\mathbf{l}}}_a& =\mathbf{R}{\vec{\mathbf{l}}}_b\\ {\vec{\mathbf{m}}}_a& ={\vec{\mathbf{p}}}_a\times {\vec{\mathbf{l}}}_a=(\mathbf{R}{\vec{\mathbf{p}}}_b+\vec{\mathbf{t}})\times \mathbf{R}{\vec{\mathbf{l}}}_b\\ & =\mathbf{R}({\vec{\mathbf{p}}}_b\times {\vec{\mathbf{l}}}_b)+\vec{\mathbf{t}}\times \mathbf{R}{\vec{\mathbf{l}}}_b\\ & =\mathbf{R}{\vec{\mathbf{m}}}_b+\vec{\mathbf{t}}\times \mathbf{R}{\vec{\mathbf{l}}}_b\end{array}$$

改写为四元数形式，记 $\mathbf{q}$ 为旋转四元数，记四元数 $\mathbf{t}=0+\vec{\mathbf{t}}$，得：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{l}}_a& =\mathbf{q}{\mathbf{l}}_b{\mathbf{q}}^{\ast }\\ {\mathbf{m}}_a& =\mathbf{q}{\mathbf{m}}_b{\mathbf{q}}^{\ast }+\frac{1}{2}(\mathbf{t}\mathbf{q}{\mathbf{l}}_b{\mathbf{q}}^{\ast }+\mathbf{q}{\mathbf{l}}_b{\mathbf{q}}^{\ast }{\mathbf{t}}^{\ast })\end{array}$$

记四元数 ${\mathbf{q}}^{\prime }=\frac{1}{2}\mathbf{t}\mathbf{q}$，则：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{l}}_a& =\mathbf{q}{\mathbf{l}}_b{\mathbf{q}}^{\ast }\\ {\mathbf{m}}_a& =\mathbf{q}{\mathbf{m}}_b{\mathbf{q}}^{\ast }+{\mathbf{q}}^{\prime }{\mathbf{l}}_b{\mathbf{q}}^{\ast }+\mathbf{q}{\mathbf{l}}_b{\mathbf{q}}^{\prime \ast }\end{array}$$

得到
$${\mathbf{l}}_a+\epsilon {\mathbf{m}}_a=(\mathbf{q}+\epsilon {\mathbf{q}}^{\prime })({\mathbf{l}}_b+\epsilon {\mathbf{m}}_b)({\mathbf{q}}^{\ast }+\epsilon {\mathbf{q}}^{\prime \ast })$$

记 $\hat{\mathbf{q}}=\mathbf{q}+\epsilon {\mathbf{q}}^{\prime }$， 即：
$${\hat{\mathbf{l}}}_a=\hat{\mathbf{q}}{\hat{\mathbf{l}}}_b{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }$$

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附录A 四元数、对偶四元数 对照表

表示	四元数	备注	对偶四元数	备注
原始	$\mathbf{q}=[s,\vec{\mathbf{v}}]$	普通四元数用粗体字母$\mathbf{q}$表示	$\hat{\mathbf{q}}={\mathbf{q}}_0+\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }$	对偶四元数在普通四元数上加^
共轭四元数	${\mathbf{q}}^{\ast }=[s,-\vec{\mathbf{v}}]$	-	${\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }={\mathbf{q}}_0^{\ast }+\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }^{\ast }$	四元数部分共轭
共轭对偶	-	-	$\overline{\hat{\mathbf{q}}}={\mathbf{q}}_0-\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }$	对偶部分共轭
共轭对偶四元数	-	-	$\overline{{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }}={\mathbf{q}}_0^{\ast }-\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }^{\ast }$	两部分都共轭
单位四元数	$$\begin{gathered} {\mathbf{q}}^{\ast }\mathbf{q}=1⟶ \\ {s}^2+\Vert \vec{\mathbf{v}}{\Vert }^2=1 \end{gathered}$$	-	$$\begin{gathered} {\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }\hat{\mathbf{q}}=1⟶ \\ \Vert {\mathbf{q}}_0\Vert =1,{\mathbf{q}}_0\cdot {\mathbf{q}}_{\epsilon }=0 \end{gathered}$$	非对偶部分是单位四元数

运算	四元数	对偶四元数
数乘	$k\mathbf{q}=[ks,k\vec{\mathbf{v}}]$	$k\hat{\mathbf{q}}=k{\mathbf{q}}_0+k\epsilon {\mathbf{q}}_{\epsilon }$
加法	${\mathbf{q}}_a+{\mathbf{q}}_b=[s_a+s_b,{\vec{\mathbf{v}}}_a+{\vec{\mathbf{v}}}_b]$	${\hat{\mathbf{q}}}_a+{\hat{\mathbf{q}}}_b={\mathbf{q}}_{a0}+{\mathbf{q}}_{b0}+\epsilon ({\mathbf{q}}_{a\epsilon }+{\mathbf{q}}_{b\epsilon })$
乘法	${\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b=[s_a{s}_b-{\vec{\mathbf{v}}}_a^{\mathrm{T}}{\vec{\mathbf{v}}}_b,s_a{\vec{\mathbf{v}}}_b+s_b{\vec{\mathbf{v}}}_a+{\vec{\mathbf{v}}}_a\times {\vec{\mathbf{v}}}_b]$	${\hat{\mathbf{q}}}_a{\hat{\mathbf{q}}}_b={\mathbf{q}}_{a0}{\mathbf{q}}_{b0}+\epsilon ({\mathbf{q}}_{a0}{\mathbf{q}}_{b\epsilon }+{\mathbf{q}}_{a\epsilon }{\mathbf{q}}_{b0})$
点乘	${\mathbf{q}}_1\cdot {\mathbf{q}}_2=s_1{s}_2+{\vec{\mathbf{v}}}_1^{\mathrm{T}}{\vec{\mathbf{v}}}_2=\frac{{\mathbf{q}}_1^{\ast }{\mathbf{q}}_2+{\mathbf{q}}_2^{\ast }{\mathbf{q}}_1}{2}$	-
模长	$\Vert \mathbf{q}{\Vert }^2=\mathbf{q}\cdot \mathbf{q}={\mathbf{q}}^{\ast }\mathbf{q}=s^2+\Vert \vec{\mathbf{v}}{\Vert }^2$	$\Vert \hat{\mathbf{q}}{\Vert }^2={\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }\hat{\mathbf{q}}=\hat{\mathbf{q}}{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }=\Vert {\mathbf{q}}_0{\Vert }^2+2\epsilon {\mathbf{q}}_0\cdot {\mathbf{q}}_{\epsilon }$
求逆	${\mathbf{q}}^{-1}=\frac{{\mathbf{q}}^{\ast }}{\Vert \mathbf{q}{\Vert }^2}$	${\hat{\mathbf{q}}}^{-1}=\frac{{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }}{\Vert \hat{\mathbf{q}}{\Vert }^2}$

	四元数	备注	对偶四元数	备注
待旋转向量	$\mathbf{p}=\vec{\mathbf{v}}$	实部为0	$\hat{\mathbf{p}}=1+\epsilon \mathbf{v}$	非对偶部分为实数1，对偶部分实数为0
旋转	${\mathbf{p}}^{\prime }=\mathbf{q}\mathbf{p}{\mathbf{q}}^{\ast }$	${\mathbf{q}}^{-1}={\mathbf{q}}^{\ast }$	${\hat{\mathbf{p}}}^{\prime }=\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{p}}\overline{{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }}$	$\hat{\mathbf{q}}={\mathbf{q}}_0+\epsilon \cdot 0$
平移	-	不支持	${\hat{\mathbf{p}}}^{\prime }=\hat{\mathbf{t}}\hat{\mathbf{p}}\overline{{\hat{\mathbf{t}}}^{\ast }}$	$\hat{\mathbf{t}}=1+\epsilon \frac{\mathbf{t}}{2}$
旋转+平移	-	不支持	${\hat{\mathbf{p}}}^{\prime }=\hat{\mathbf{q}}\hat{\mathbf{t}}\hat{\mathbf{p}}\overline{{\hat{\mathbf{t}}}^{\ast }{\hat{\mathbf{q}}}^{\ast }}$	-
轴角表示	$\cos \frac{\theta }{2}+\vec{\mathbf{u}}\sin \frac{\theta }{2}$	只能表示旋转，不能表示平移$\vec{\mathbf{u}}$为旋转轴，$\theta$为旋转角	$\cos \frac{\hat{\theta }}{2}+\widehat{\vec{\mathbf{u}}}\sin \frac{\hat{\theta }}{2}$	$\hat{\theta }=\theta +\epsilon d,\widehat{\vec{\mathbf{u}}}=\vec{\mathbf{u}}+\epsilon \mathbf{m}$其中$\widehat{\vec{\mathbf{u}}}$为旋转轴，$\theta$为旋转角$d$为沿着轴的移动距离，$\mathbf{m}$为矩

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附录B 公式证明

B.1

记四元数 ${\mathbf{q}}_a={\mathbf{v}}_a,{\mathbf{q}}_b={\mathbf{v}}_b$，即两个实部为0的四元数
那么：
$$\begin{gathered} {\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b=-{\vec{\mathbf{v}}}_a^{\mathrm{T}}{\vec{\mathbf{v}}}_b+{\vec{\mathbf{v}}}_a\times {\vec{\mathbf{v}}}_b \\ {\mathbf{q}}_b{\mathbf{q}}_a^{\ast }={\vec{\mathbf{v}}}_a^{\mathrm{T}}{\vec{\mathbf{v}}}_b-{\vec{\mathbf{v}}}_b\times {\vec{\mathbf{v}}}_a \end{gathered}$$

两式相加，得
$$\begin{gathered} {\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b+{\mathbf{q}}_b{\mathbf{q}}_a^{\ast }=2({\vec{\mathbf{v}}}_a\times {\vec{\mathbf{v}}}_b) \\ or \\ {\vec{\mathbf{v}}}_a\times {\vec{\mathbf{v}}}_b=\frac{1}{2}({\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b+{\mathbf{q}}_b{\mathbf{q}}_a^{\ast }) \end{gathered}$$