黄金分割法是包围策略的经典用例。算法思路为：假定目标函数$f(x)$最优解$x_0$含于长度为$\lambda$的区间$(a_0,b_0)$内。在区间内插入两个备选点$a_1^{\prime },b_1^{\prime }\in (a_0,b_0)$，使得$a_1^{\prime }<b_1^{\prime }$且
$$a_1^{\prime }-a_0=b_0-b_1^{\prime }=\rho (b_0-a_0)=\rho \lambda$$
其中，$\rho <\frac{1}{2}$。比较$f(a_1^{\prime })$与$f(b_1^{\prime })$，若$f(a_1^{\prime })<f(b_1^{\prime })$，则$x_0\in [a_0,b_1^{\prime }]$（见下图(a)）。否则，即$f(b_1^{\prime })\le f(a_1^{\prime }))$，则$x_0\in [a_1^{\prime },b_0]$（见下图(b)））。对于前者，令$[a_1,b_1]=[a_0,b_1^{\prime }]$。相仿地，对后者令$[a_1,b_1]=[a_1^{\prime },b_0]$。无论那种情形，变换后的区间$[a_1,b_1]$其长度缩短为$\lambda (1-\rho )$，且$x_0\in [a_1,b_1]$。继续用上述方法，在$[a_1,a_2]$中插入备选点$a_2^{\prime }$和$b_2^{\prime }$，可得长度为$\lambda (1-\rho {)}^2$且包含$x_0$的压缩区间$[a_2,b_2]$。按此方式迭代$k$次，得到的含有$x_0$的压缩区间$[a_k,b_k]$长度为$\lambda (1-\rho {)}^k$。对给定的容错误差$\epsilon >0$，若$(1-\rho {)}^k\lambda <\epsilon$，则停止迭代，当前区间$[a_k,b_k]$内任一点均可充当最优解$x_0$的近似值。否则继续进行相同的迭代计算，直至满足精度要求。

事实上，我们在第一次迭代确定区间$[a_1,b_1]$时，有一个备选点$a_1^{\prime }\in [a_1,b_1]$（$=[a_0,b_1^{\prime }]$见上图(a)所示情形）或$b_1^{\prime }\in [a_1,b_1]$（$=[a_1^{\prime },b_0]$上图(b)），在该点处的函数值已计算过。我们可以利用这个点，作为第二次迭代时要插入的备选点$b_2^{\prime }$（或$a_2^{\prime }$）。这样可以减少一次函数值$f(b_2^{\prime })$（或$f(a_2^{\prime })$）的计算。以上图(a)情形为例，在第一次迭代中所取的点$a_1,b_1$为$a_0,b_1^{\prime }$，第二次迭代时，以$a_1^{\prime }$作为$b_2^{\prime }$。若选择$\rho =\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.382$，即可使得$[b_2^{\prime },b_1^{\prime }]$的长度为$\rho (1-\rho )\lambda$，如下图所示（为使表达简洁，图中假定$\lambda =1$）。由于每次迭代，区间长度的压缩系数为黄金分割数$1-\rho =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$，算法由此得名。

Python用于科学计算的工具包scipy中，有一个optimize模块，提供大量用于最优化问题解决方案。其中有一个用于计算指定一元函数$f(x)$局部最优解的函数minimize_scalar。该函数常用的接口为
$$\text{minimize\_scalar(fun, bracket, method)}$$
其中，参数fun表示目标函数$f(x)$，bracket表示$f(x)$的单峰区间信息，method表示所要采用的搜索算法。我们只要将表示目标函数、单峰区间（可用myBracket函数计算，详见博文《连续函数的单峰区间计算》）及实现搜索算法的函数传递给minimize_scalar的参数fun、bracket和method即可望算得目标函数的局部最优解。用户自定义搜索算法函数需符合下列的接口规范
$$\text{custmin(fun, bracket, args=(), ..., **options)}$$
其中函数名custmin可任取，形式参数表fun, bracket, args=(), …中命名参数（如此处的args及其后续的参数）需排列在任意参数（此处的fun，bracket）之后。特殊的options参数是minimize_scalar在调用时向本函数传递所需的自定义实际参数的机制。
下列代码实现黄金分割搜索算法。

from scipy.optimize import OptimizeResult
def myGolden(fun,bracket,gtol=1e-6,**options):
   a0,b0=bracket									#初始化区间[a0,b0]
   rho=0.382										#ρ=1-0.618
   lam=b0-a0										#区间长度λ
   a1,b1=a0+lam*rho,b0-lam*rho						#首次插入点
   f1,f2=fun(a1),fun(b1)							#区间端点函数值
   k=1												#迭代次数
   while lam>gtol:									#重复迭代
      if f1<f2:										#情形(a)
         t,b0,f2=0,b1,f1							#保留左端点，更新右端点
      else:											#情形(b)
         t,a0,f1=1,a1,f2							#保留右端点，更新左端点
      lam=lam*(1-rho)								#更新区间长度
      k+=1											#迭代次数自增1
      if t==0:										#情形(a)
         b1=a1										#插入点b1更新为a1
         a1=a0+lam*rho								#更新插入点a1
         f1=fun(a1)									#计算a1处函数值
      else:											#情形(b)
         a1=b1										#插入点a1更新为b1
         b1=b0-lam*rho								#更新插入点b1
         f2=fun(b1)									#计算b1处函数值
   bestx=(a0+b0)/2									#计算最优解近似值   
   besty=fun(bestx)									#计算最优值近似值
   return OptimizeResult(fun=besty, x=bestx, nit=k)

程序的第2~26行定义实现黄金分割算法的Python函数myGolden。参数fun表示目标函数$f(x)$，参数bracket表示单峰区间$[a_0,b_0]$，gtol表示容错误差$\epsilon$，缺省值为$10^{-6}$。minimize_scalar可利用参数**options将自命名参数gtol的具体值传递给由method接收的myGolden。
第3~8行执行初始化操作：第3行从参数bracket读取函数$f(x)$的单峰区间端点$(a_0,b_0)$赋予a0，b0。第4行设置缩放系数$\rho =0.382$赋予rho。第5行将区间长度$\lambda$初始化为$b_0-a_0$赋予lam。第6行用区间端点处的函数值$f(a_0),f(b_0)$初始化f1，f2。第8行将迭代次数k初始化为1。
第9~23行的while循环执行迭代操作：第10~13行的if-else分支根据条件
$$f(a_k)<f(b_k)$$
是否成立，是否成立，确定是前图中所示情形(a)还是(b)。若为前者置标志t为0，保留左端点a0（仅将右端点b0更新为插入点b1），并更新右端点处的函数值f2。否则置t为1，保留右端点b0（将左端点a0更新为插入点a1），更新左端点处的函数值f1。第14行计算新的压缩区间$[a_0,b_0]$的长度$\lambda$，第15行将迭代次数$k$自增1。第16~23行的if-else分支根据表示不同情形的t值（0或1），确定新的插入点的计算a1、b1的计算，并计算需更新的插入点处的函数值。
当压缩区间$[a_0,b_0]$的长度$\lambda$小于容错误差$\epsilon$时，迭代完成。第24行取$[a_0,b_0]$的中点作为最优解$x_0$的近似值，赋予bestx。第25行计算目标函数在最优解处的近似值，赋予besty。第26行返回值为
$$\text{OptimizeResult(fun=besty, x=bestx, nit=k)}$$
是用前面算得的最优解$x_0$的近似值bestx，最优解处的函数值$f(x_0)$的近似值besty以及迭代次数k创建的OptimizeResult类（第1行导入）对象。
例1 用myGolden方法计算函数$f(x)=x^4-14x^3+60x^2-70x$在$x=0$近旁的局部最优解。
解：下列代码计算本例

from scipy.optimize import minimize_scalar								#导入minimize_scalar
f=lambda x:x**4-14*x**3+60*x**2-70*x									#设置目标函数
bracket=myBracket(f,0)													#计算单峰区间
res=minimize_scalar(f,bracket,method=myGolden,options={'gtol':1.48e-8})	#计算最优解
print(res)

程序的第2行定义目标函数$f(x)$，第3行调用myBracket函数（详见博文《连续函数的单峰区间计算》）计算$f(x)$在$x=0$附近的单峰区间$[a_0,b_0]$赋予bracket。第4行调用minimize_scalar，传递$f(x)$给参数fun，传递$[a_0,b_0]$给bracket，传递myGolden给参数method，传递字典型数据{‘gtol’:1.48e-8}给参数options，籍此向myGolden传递容错误差$\epsilon =1.48$✕$10^{-8}$。运行程序，输出

fun: -24.369601567349775
nit: 38
x: 0.7808836405154187

意味着myGolden以容错误差$\epsilon =1.48\times 10^{-8}$，迭代38次，算得最优解近似值为0.7808836405154187，最优解处函数近似值-24.369601567349775。
Scipy.optimization模块为minimize_scalar提供了三个常用的搜索算法：
$$\begin{array}{l}\text{brent}\\ \text{bounded}\\ \text{golden}\end{array}$$
供程序员选择使用，其中的golden方法就是实现的黄金分割算法。
例2 用Python提供的golden方法计算例1中函数$f(x)=x^4-14x^3+60x^2-70x$在$x=0$近旁的局部最优解。
解：下列代码计算本例

from scipy.optimize import minimize_scalar			#导入minimize_scalar
f=lambda x:x**4-14*x**3+60*x**2-70*x				#设置目标函数
bracket=myBracket(f,0)								#计算x=0近旁的单峰区间
res=minimize_scalar(f,bracket,method='golden')		#计算最优解
print(res)

注意第4行调用minimize_scalar时传递给method的参数为’golden’（要打引号），表示系统提供的golden方法。运行程序，输出

fun: -24.369601567355033
message: '\nOptimization terminated successfully;\nThe returned valuesatisfies the termination criteria\n(using xtol = 1.4901161193847656e-08 )'
nfev: 44
nit: 39
success: True
x: 0.7808840597145699

与例1的输出比较，我们的自己的myGolden无论是计算精度还是计算效率并不输给系统提供的golden。
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