什么是边缘分布函数，有那些性质

设$F(x,y)$为随机变量$(X,Y)$的分布函数，则F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x,y)=P\{X \le x,Y \le y\}F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}

令 $y\to \infty$，称$P(X\le x)=P(X\le x,Y<\infty )=F(x,\infty )$

为随机变量$(X,Y)$关于$x$的边缘分布函数，记为$F_x(x)=F(x,\infty )$

同理令$x\to \infty$，Fy(y)=F(∞,y)=P{X<∞,Y≤y}=P(Y≤y)F_y(y)=F(\infty,y)=P\{X < \infty ,Y \le y\} = P(Y \le y)Fy​(y)=F(∞,y)=P{X<∞,Y≤y}=P(Y≤y)

为随机变量$(X,Y)$关于$Y$的边缘分布函数

二维离散型随机变量的边缘分布律，性质

设二维离散型随机变量$(X,Y)$的联合分布律为P{X=x,Y=y}=pij,i,j=1,2,⋯P\{X=x,Y=y\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdotsP{X=x,Y=y}=pij​,i,j=1,2,⋯

记Pi⋅=∑j=1∞pij=P{X=xi},i=1,2,⋯P_{i·} = \sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=P\{X = x_i\},i=1,2,\cdotsPi⋅​=∑j=1∞​pij​=P{X=xi​},i=1,2,⋯

​ P⋅j=∑i=1∞pij=P{Y=yi},j=1,2,⋯P_{·j} = \sum_{i=1}^{\infty}p_{ij} = P\{Y=y_i\},j=1,2,\cdotsP⋅j​=∑i=1∞​pij​=P{Y=yi​},j=1,2,⋯

分别称$p_{i\cdot }(i=1,2,\cdots )$和$P_{\cdot j}(j=1,2,\cdots )$为$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布率

二维连续型随机变量的边缘概率密度，性质

对于连续型随机变量$(X,Y)$设概率密度为$f(x,y)$有

$F_X(x)=F(x,\infty )={\int }_{-\infty }^x[{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy]dx$

记 $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$称为随机变量$(X,Y)$关于$X$的边缘概率密度

同理得 $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$为$Y$的边缘概率密度

二维正态分布$(X,Y)$~$N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，则$X$和$Y$服从什么分布

服从一维正态分布