一、曲线的参数方程

1.1 参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x,y$都是某个变数$t$的函数
$$\{\begin{array}{rl}& x=f(t)\\ & y=g(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$并且对于每个$t$的允许值，由方程组（1）所确定的点$M(x,y)$都在这条曲线上，那么方程组（1）就称为这条曲线的参数方程，联系变数$x,y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。这里的参数$t$可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

一个曲线多个参数方程，一个参数方程却只能对应一条曲线；此外，在建立参数方程时应该注明参数和参数的取值范围。

1.2 圆的参数方程

圆心在原点，半径为$r$,$\theta$为转过的角度。
$$\{\begin{array}{rl}& x=r\cos \theta \\ & y=r\sin \theta \end{array}\theta \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(2)}$$化成普通方程便于观察曲线的类型。另外，若圆心不在原点，若圆心为$(a,b)$，则对应参数方程应该为：
$$\{\begin{array}{rl}& x=a+r\cos \theta \\ & y=b+r\sin \theta \end{array}\theta \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(3)}$$

1.3 参数方程和普通方程的互化

一般地可以通过消去参数从而将参数方程转化成普通方程；若已知普通方程，可以通过令$x=f(t)$，再将$x$带入普通方程来转化成参数方程。特别注意$x,y,\theta$的取值范围。

二、圆锥曲线

2.1 椭圆的参数方程

长轴长为a，短轴长为b的椭圆的普通方程为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）\text{\hspace{1em}(4)}$$
对应的参数方程为：
$$\{\begin{array}{rl}& x=a\cos \varphi \\ & y=b\sin \varphi \end{array}\varphi \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.2 双曲线的参数方程

若双曲线的普通方程为：
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0b>0）\text{\hspace{1em}(5)}$$
则对应的参数方程为：
$$\{\begin{array}{rl}& x=a\sec \varphi \\ & y=b\sin \varphi \end{array}\varphi \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(6)}$$$\varphi$为参数，满足条件：

• $\varphi \in [0,2\pi )$
• $\varphi \ne \frac{\pi }{2}\varphi \ne \frac{3\pi }{2}$

python中似乎没有$\sec$函数，总之等于余弦的倒数就对了：
$$\sec \varphi =\frac{1}{cos\varphi }$$

2.3 抛物线方程

设抛物线普通方程为
$$y^2=2px\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，$p$表示焦点在顶点的距离。参数方程如下：
$$\{\begin{array}{rl}& x=\frac{2p}{{\tan }^2\alpha }\\ & y=\frac{2p}{\tan \alpha }\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
令$t=\frac{1}{\tan \alpha }$，(8)变成：
$$\{\begin{array}{rl}& x=2p{t}^2\\ & y=2pt\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

$t\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，$\alpha$除顶点外任意一点与顶点连线与$Ox$夹角，显然当$t=0$时恰好是抛物线原点，$t$表示除原点外任意一点与原点连线斜率的倒数。

三、直线

过点$P_0(x_0,y_0)$倾角为$\alpha$的直线$l$，其普通方程为：
$$y-y_0=\tan \alpha (x-x_0)\text{\hspace{1em}(10)}$$
对应的参数方程为：
$$\{\begin{array}{rl}& x=x_0+t\cos \alpha \\ & y=y_0+t\sin \alpha \end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
$t$为参数，其绝对值等于动点$P$到$P0$的距离，即：
$$|t|=|PP0|\text{\hspace{1em}(12)}$$

四、渐开线和摆线

4.1 渐开线参数方程，

渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。

在曲线上选一定点$S$。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在$P$的切线上的$Q$，使得曲线长$SP$和直线段长$PQ$ 相同。渐伸线就是$Q$的轨迹。圆的渐开线方程为：
$$\{\begin{array}{rl}& x=r(\cos \varphi +\varphi \sin \varphi )\\ & y=r(\sin \varphi -\varphi \cos \varphi )\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
$\varphi$是参数。

在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线的齿形的齿轮磨损少、传动平稳，制造安装较为方便。因此大多数齿轮采用这种齿形，设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。

4.2 摆线

对应的参数方程为：
$$\{\begin{array}{rl}& x=r(\varphi -\sin \varphi )\\ & y=r(1-\cos \varphi )\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
$\varphi$是参数。