马氏距离的求解

​ 马氏距离是一种可以消除单位影响的距离评价方法，可以忽略量纲对距离两点之间距离的影响。

​ 在此将列举简单一个例子对文字性描述进行一个运算。

1、计算x与y的均值

​ 设$x=(x_1,x_2,...,x_n)、y=(y_1,y_2,...,y_n)$，求解$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+,...,x_n}{n}、\bar{y}=\frac{y_1+y_2,...,y+n}{n}$。计算出$x,y$的均值。

​ $x=(5,4,3)、y=(10,6,11)n=3$

​ $\bar{x}=4,\bar{y}=9$

2、计算样本与均值的差

​ 样本减去均值可以得到一个去中心化的矩阵$X$
$$X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$$

3、计算$X$协方差矩阵

​ $cov(X)=S=\frac{1}{m-1}{s}^{T}s$这里参照基本协方差矩阵的求解方法。

3.1、协方差矩阵的求法：

1. 根据前期假设得知$X$是一个$n\ast 2$的矩阵，取每一列为单独的变量，因此得到$c_1$为去中心化后的x，$c_2$为去中心化后的y。

$$c_1=(1,0,-1)c_2=(1,-3,2)$$

2. 对每一列的变量求和取均值得${\bar{c}}_1、{\bar{c}}_2$，再将每一列减去对应的均值得到$s$矩阵，因为这里是按照每列为一个单独的变量，所以m为矩阵的行数m=n。

$$\begin{gathered} {\bar{c}}_1=0{\bar{c}}_2=0m=3 \\ s=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -3\\ -1& 2\end{array}\right) \end{gathered}$$

​ 在本例子中s与原来的$X$没有发生改变。

3. 根据公式计算协方差矩阵S

$$S=\frac{1}{3-1}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -0.5\\ -0.5& 7\end{array}\right)$$

4、求解马氏距离

​ 求解具体两个点之间的马氏距离，直接带入以下两个点即可。

​ 基本计算公式如下：
$$d(x,y)=\sqrt{(x-y{)}^T{S}^{-1}(x-y)}$$
​ $S^{-1}$表示协方差矩阵的逆矩阵。逆矩阵的基本求解在此不再过多描述。