南京邮电大学 《数学建模》课程的一次书面大作业：

题目

试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数 k，销售速率为常数 r，k>r，在每个生产周期T内，开始的一段时间($0<t<T_0$)一边生产一边销售后来的一段时间($T_0<t<T$)只销售不生产，画出存贮量 q(t) 的图形。设每次生产准备费为 $c_1$，单位时间每件产品贮存费为 $c_2$，以平均每天总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论 $k\gg r$ 和 $k\approx r$ 的情况。

解答

为了建模方便，假设生产量和销售量的变化都是连续的，生产周期T可以不是整数。

1. 题目内有以下常数：

   含义	符号
   生产速率	$k$
   销售速率	$r$
   生产准备费	$c_1$
   单位时间每件产品贮存费	$c_2$

2. $T_0$前，q(t)以$k-r$的速率增长，达到最大值。

3. $T_0$停止生产后，库存数逐渐减少，直至库存数变为0，此时一个周期结束。

所以，这段周期内的总费用为：总存储费用+生产准备费。

有：
$$c=c_2{\int }_0^{T_0}q(t)dt+c_2{\int }_{T_0}^{T}q(t)dt+c_1$$

化简后有：
$$\begin{array}{c}c=c_2\frac{(k-r)T_0^2}{2}+c_2\frac{r{\left(T-T_0\right)}^2}{2}+c_1\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
根据库存的数量关系，有以下等式：
$$\begin{gathered} (k-r)T_0=(T-T_0)r \\ k{T}_0-r{T}_0=rT-r{T}_0\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$接着化简
$$\begin{gathered} k{T}_0=rT \\ 即T_0=\frac{rT}{k}\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
将(2)和(3)代入到关于式子(1)中有
$$\begin{array}{rl}c& =c_2\frac{(k-r)T_0^2}{2}+c_2\frac{r{\left(T-T_0\right)}^2}{2}+c_1\\ & =\frac{c_2}{2}\left[r{T}_0(T-T_0)+(k-r)T_0(T-T_0)\right]+c_1\\ & =\frac{c_2}{2}\left[k{T}_0(T-T_0)\right]+c_1\\ & =\frac{c_2}{2}\times rT\times \left[T-\frac{rT}{k}\right]+c_1\\ & =\frac{c_2}{2}\times \left[\frac{k-r}{k}\right]\times r{T}^2+c_1\end{array}\text{\hspace{1em}()()()()(4)}$$
对(4)式除以周期T，求平均每天的费用 $\bar{c}$ ：
$$\begin{array}{rl}\bar{c}& =\frac{c}{T}\\ & =\frac{c_2}{2}\times \left[\frac{k-r}{k}\right]\times rT+\frac{c_1}{T}\\ & =\frac{c_{2}r(k-r)T}{2k}+\frac{c_1}{T}\end{array}\text{\hspace{1em}()()(5)}$$
式(5)即为目标函数，为使 $\bar{c}$ 最小，有：
$$\frac{\mathrm{d}\bar{c}}{\mathrm{d}T}=\frac{c_{2}r(k-r)}{2k}-\frac{c_1}{T^2}=0$$
化简可得：
$$\begin{array}{r}{T}^2=\frac{2k{c}_1}{c_{2}r(k-r)}\\ T=\sqrt{\frac{2k{c}_1}{c_{2}r(k-r)}}\end{array}\text{\hspace{1em}()(6)}$$
式子(6)即为我们要求的最佳生产周期。

1. 当 $k\gg r$ 时，
   $$T=\sqrt{\frac{2c_1}{c_{2}r}}$$
   生产周期与k无关。

2. 当 $k\approx r$ 时，$T\to +\infty$ ，生产周期无限长，几乎无法产生贮存量。