1.PID基本原理

通俗理解

被控对象：水缸
输出：水位
控制信号：加水的量
控制目标：水位保持至1m

比例（Proportion）
控制信号=$Kp\times (目标水位1m-实际水位)$

所以如果$Kp=1$，即差多少水就灌多少水，一次到1m。
如果$Kp<1$，即一点一点灌水，几次就能到1m。
如果$Kp>1$，即第一次灌很多水水位超出1m(超调)，此时水位偏差为负相当于抽水，但由于$Kp>1$则抽水后水位又小于1m，然后在灌水超过1m，但是如此往复会越来越接近1m最终达到1m(震荡)。

如果水缸存在漏水现象，每次灌水都漏水0.1m。在这种情况下，如果$Kp=1$且水位达到0.1m时，则灌水为1×0.1=0.1m，而又会漏掉这0.1m，则水位将永远稳定至0.9m永远无法达到1m(稳态误差)

必须借助积分器消除稳态误差。

积分（Integration）
控制信号=$Kp\times (目标水位1m-实际水位）+Ki\times {\sum }_{所有时刻}(1m-实际水位)$

此时不会再有稳态误差了。假设有，则一定会有积分器根据以前的误差漏完水再加，只要有误差就会调整，最后稳定至1m。

由于积分器会将过去的误差纳入加水量中，因此会使每次灌(抽)的水要更多，导致系统更大的超调和震荡。

必须借助微分器消除超调。

微分（Differenation）
控制信号=$Kp\times (目标水位1m-实际水位）+Ki\times {\sum }_{所有时刻}(1m-实际水位)+Kd\times \frac{d(1m-实际水位)}{dt}$

灌水灌多了导致水位远远超出1m，则水位变化量为负，微分器就会再抽出一点水。每次灌(抽)水越多，微分器会抽(灌)水越多。这样震荡就不那么剧烈了。

原理

比例（Proportion）
优：$Kp$越大，响应速度越快，稳态误差越小
劣：$Kp$越大，震荡剧烈，超调高，稳态误差无法消除

积分（Integration）
优：消除稳态误差
劣：存在超调，$Ki$越大，超调越高

微分（Differenation）
优：减小超调，减小震荡，提高响应速度
劣：$Kd$越大，高频噪声会被放大

2.PID特点

优点：

1. 适应性强，应用广泛。大多数系统使用PID均可满足实际需求。
2. 算法结构简单
3. 参数的调节整定可以不依赖被控对象具体模型

缺点：

1. 自由度仅为三个比较低，面对非线性、时变、存在不确定系统，控制效果差。
   虽然可以在某个平衡点进行线性化控制，但依据局限性大。
2. 多输入多输出系统，且耦合很强的系统，PID参数整定很困难。

3.PID表达式

连续系统：
$u(t)=K_{p}e(t)+K_i{\int }_0^{t}e(t)dt+K_d\frac{de(t)}{dt}$

离散系统位置式
$u(k)=K_{p}e(k)+K_{i}T{\sum }_{i=0}^{k}e(k)+K_d\frac{e(k)-e(k-1)}{T}$

离散系统增量式
$△u(k)=K_p△e(k)+K_{i}e(k)T+K_d\frac{e(k)-2e(k-1)+e(k-2)}{T}$

4.PID应用的常见问题及解决方法

4.1 积分分离PID

问题： 因为某种原因系统误差e急剧变化，由于积分器的作用，导致控制量u急剧变化，引起系统较高超调，或急剧震荡。
解决： e较大时去掉积分器，e较小时加入积分器。

4.2 抗积分饱和PID

问题： 实际场景下控制信号u有取值范围，e的累计过大时，由于积分器的作用，导致u一直处于极限值。只有累计一段时间负误差e才能使u退出饱和。
解决： 一旦u达到极限值，则积分器只累加负的e不累加正e，能够提前退出饱和时间。

4.3 变速积分PID

问题： 平衡积分器 削弱平稳态误差的速度 和 超调量
解决： e>Y时 不累加误差，Y>e>X时 累加误差的一部分，即累加e(Y-e)/(Y-X)

4.3 前馈补偿PID

问题： 实现输入输出的准确跟踪，即传递函数为1
解决： 引入前馈环节，如图所示设计。

4.3 卡尔曼滤波PID

问题： 实际系统存在噪声，传感器也存在噪声，因此不能准确测得系统真实输出。
解决： 加入卡尔曼滤波器估计系统实际输出，计算控制信号。如图所示设计。