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Unity 坐标系与右手坐标系位姿（旋转和位移）转换

下图是 Unity 使用的坐标系和右手坐标系的示意图：

可以清楚地看到，Unity 中用的是左手坐标系，且是 z 轴向前，y 轴向上；而右手坐标系是 x 轴向前，z 轴向上（当然也可以自己规定怎么放）。

现需要把 Unity 的一个位姿转换为右手坐标系下的位姿。

位移转换

位移转换其实很简单，假设在 Unity 中的位移是 $v_u$，右手坐标系的位移是 $v_r$，那么把 $v_r$ 转换为 $v_u$ 则是：
$$\begin{gathered} v_{ux}=-v_{ry} \\ {v}_{uy}=v_{rz} \\ {v}_{uz}=v_{rx} \end{gathered}$$
其中 $v_{ux}$ 表示 $v_u$ 的 x 坐标，其它以此类推。

要把 $v_u$ 转换为 $v_r$ 的话，反过来就可以了。

旋转转换

为了能够消除旋转顺序和万向节的影响，这里不用欧拉角来表示旋转，而是使用四元数来表示一个唯一的旋转。

参考了这里 的文章，我才发现用四元数表示旋转的话，这两个坐标系的转换也很简单。

四元数的形式可以是 $w+xi+yj+zk$ ，其中 $i$,$j$,$k$ 为四元数的虚部， $w$ 为四元数的实部。
四元数表达的是绕一个旋转轴 $(x_{\omega },y_{\omega },z_{\omega })$ 旋转了一个角度 $\omega$，所以，四元数中的实部和虚部为：
$$\begin{gathered} w=\cos (\omega /2) \\ x=\sin (\omega /2)x_{\omega } \\ y=\sin (\omega /2)y_{\omega } \\ z=\sin (\omega /2)z_{\omega } \end{gathered}$$

因此，只要把旋转轴在两个坐标系下找对就行了。
位移和旋转轴的表示都是 $(x,y,z)$，所以直接用位移的转换公式来转换旋转轴即可。
那么，把右手坐标系的四元数 $q_r$ 转换到 Unity 中的四元数 $q_u$ 的方式为：
$$\begin{gathered} w_u=w_r \\ {x}_u=-y_r \\ {y}_u=z_r \\ {z}_u=x_r \end{gathered}$$
但是还没完，因为左手 Unity 的旋转是左手旋转，跟右手坐标系的旋转刚好相反。有两种方法可以解决这个问题，要么是旋转的角度取反，要么是旋转轴的向量取反。根据上面的公式，其实两种方法的结果都一样，都是对虚部全部取反。
因此最后正确的转换应为：
$$\begin{gathered} w_u=w_r \\ {x}_u=y_r \\ {y}_u=-z_r \\ {z}_u=-x_r \end{gathered}$$

得到的 $q_u=w_r+y_{r}i-z_{r}j-x_{r}k$。

要把 $q_u$ 转换为 $q_r$ 的话，反过来就可以了。

扩展（其他坐标系形式的转换）

假如用到的左手和右手坐标系的对应关系跟前面说的不同，看到这里的话其实也能知道怎么自己推导了，就是换一下坐标轴而已。