一、多项式乘法和“卷积”

首先，我们来看一个多项式乘法的计算：$$(x+1)(x^2+2x+5)$$
一般地，我们有：$$\begin{array}{rl}& (x+1)(x^2+2x+5)\\ & \\ & =x^3+2x^2+5x+x^2+2x+5\\ & =x^3+3x^2+7x+5\end{array}$$
因此，该多项式乘法结果中各项的系数就是：1 3 7 5
总结起来，上面这种方法获得各项系数需要两个步骤：各项相乘、同类项相加

然而，书中却给出了另外一种各加直观简单的办法：

从上图我们可以看出，两个多项式中，下面的多项式按照升幂排列、上面的多项式按照降幂排列。
接着，下面的这一个多项式$5+2x+x^2$从左到右滑过$x+1$，在滑动过程中，$(5+2x+x^2)$与$(x+1)$重叠的地方，对应重叠的部分相乘，再相加。

用下面这个图再感受一下：

到这里，我们先对“卷积”有了一个大概的印象。下面我们推导卷积的公式：

二、“卷积”的计算公式

在上面的例子里面，$x+1$的系数是(a[1]，a[0]) = （1，1）；$5+2x+x^2$的系数是(a[0]，a[1]，a[2]） = （5，2，1）
那么计算结果：$x^3+3x^2+7x+5$中各项系数表示为：
常数项的系数为：$c[0]=a[0]b[0]$
$x$的系数为：$c[1]=a[0]b[1]+a[1]b[0]$
$x^2$的系数：$c[2]=a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0]$
$x^3$的系数：$c[3]=a[0]b[3]+a[1]b[2]+a[2]b[1]+a[3]b[0]$

大家注意到了吗：若我们相乘的两个多项式a，b的最高次分别为：$n_1,n_2$，那么我们计算各项系数的式子都可以归纳为：$$c[n]=\sum _{k=0}^{n}a[j]b[n-k]（0\le n\le n_1+n_2)$$

【思考】：我们这时就会想：如果信号可以分解成类似$x^2+2x+5$这样的多项式，同时，还能够保证：$x^n=f(n{\omega }_0)$，那么两个信号相乘就可以通过卷积计算求出来

书中解释了为何要强调满足$x^n=f(n{\omega }_0)$条件：因为我们知道，任何一个周期信号都可以表示成多个频率分量之和：基波分量(${\omega }_0=2\Pi f$)，二次谐波分量（$2{\omega }_0$)，三次谐波分量($3{\omega }_0$)、、、因此，我们希望信号相乘得到的结果也能够是这样的形式，即是$n{\omega }_0$的函数
【那么，这样的条件是否能够满足呢？】

\quad
我们看看这样的表示：$x=f({\omega }_0)=e^{j{\omega }_{0}t}=cos{\omega }_{0}t+jsin{\omega }_{0}t$

那么，$$\begin{array}{rl}{x}^2& =(cos{\omega }_{0}t+jsin{\omega }_{0}t{)}^2\\ & =co{s}^2{\omega }_{0}t+2jcos{\omega }_{0}tsin{\omega }_{0}t-si{n}^2{\omega }_{0}t\\ & =cos2{\omega }_{0}t+jsin2{\omega }_{0}t\\ & =f(2{\omega }_0)\end{array}$$

2.1 实例：利用卷积计算两个信号相乘

比如，我们有两个信号$f(t),g(t)$，它们分别为：$$f(t)=(cos2{\omega }_{0}t+5cos{\omega }_{0}t+6)+j(sin2{\omega }_{0}t+5sin{\omega }_{0}t)$$
$$g(t)=(3cos{\omega }_{0}t+2)+j3sin{\omega }_{0}t$$

$f(t)$与$g(t)$相乘，是肉眼可见的麻烦。那么如果用卷积运算的思想能不能简化一些呢？
首先，我们先对信号的表达式进行一些处理：$$\begin{array}{rl}f(t)& =(cos2{\omega }_{0}t+5cos{\omega }_{0}t+6)+j(sin2{\omega }_{0}t+5sin{\omega }_{0}t)\\ & =(cos2{\omega }_{0}t+jsin2{\omega }_{0}t)+5(cos{\omega }_{0}t+jsin{\omega }_{0}t)+6\\ & =e^{j2{\omega }_{0}t}+5e^{j{\omega }_{0}t}+6\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}g(t)& =(3cos{\omega }_{0}t+2)+j3sin{\omega }_{0}t\\ & =3(cos{\omega }_{0}t+jsin{\omega }_{0}t)+2\\ & =3e^{j{\omega }_{0}t}+2\end{array}$$
我们令：$e^{j{\omega }_{0}t}=x$，那么，$f(t),g(t)$就可以表示为:
$f(t)=x^2+5x+6=6+5x+x^2$；$g(t)=3x+2$

这样，我们知道，卷积之和信号最高项次数为3，那么，由卷积运算公式，得：
$c[0]=a[0]b[0]=12$
$c[1]=a[0]b[1]+a[1]b[0]=10+18=28$
$c[2]=a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0]=2+15+0=17$
$c[3]=a[0]b[3]+a[1]b[2]+a[2]b[1]+a[3]b[0]=0+3+0+0=3$
因此，我们得到：卷积之后得到的信号按照降幂排列，各项的系数为：3、17、28、12

因此，输出信号可以表示为：$$\begin{array}{rl}c(t)& =3x^3+17x^2+28x+12\\ & =3e^{j3{\omega }_{0}t}+17e^{j2{\omega }_{0}t}+28e^{j{\omega }_{0}t}+12\end{array}$$
怎么样，卷积运算是不是比普通的强算简单？

三、卷积的生动理解

也许到这里，我们可能会计算离散信号的卷积了。可是，我们会有疑问：卷积到底还能来干啥？

下面，我们就来分析“卷积”的意义：

3.1 卷积能够用来解决什么问题？

这里我们需要了解两种概念：
【无记忆系统】

我们看看这个系统，它执行的是对输入信号+2的操作，那么这样的系统：当前的输出仅仅只取决于当前的输入，和之前的输入无关。这样的系统叫做“无记忆系统”

【记忆系统】：这里我们举一个例子就够：“冰冻三尺非一日之寒”。**某一天冰的厚度不仅取决于当天的温度、还取决于之前好几天的温度。**这就叫记忆系统。

那么卷积就是为了计算诸如此类的拥有记忆系统的输出问题

3.2 卷积运算的前提条件 —— 线性时不变系统

所谓“线性系统”，很简单，就是输出与输入成线性关系。（或者说满足叠加定理）

所谓“时不变系统”，就是系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是从出现的时间不同。
（我们这里这样理解：先暂时抛开“记忆系统”，我们就考虑一个无记忆时不变系统：假设这个系统输入x，输出y（固定关系）。那么系统在$t_1$时刻输入x，系统输出y；在$t_2$时刻输入x，系统依然输出y，这两个y大小形状完全一样，只不过这两次y出现的时间不一样罢了）

如果系统满足线性时不变系统，再把记忆系统的条件加上，那么就可以用卷积的方法，将输入信号进行分解，分解成独立的脉冲序列。系统的输出就等于独立脉冲输出的累加。

3.3 图解卷积的意义

我们假设一个系统，在某一时刻突然收到一个输入信号，但瞬间就又消失了（一个冲击信号），那么系统就会像下图一样缓慢地恢复到原来的状态：

下面我们来看另一种情况：假设这个系统在恢复的过程中（比如说第2s）又收到一个一样的冲击，那么，它就变成这样了：

那么，它的输出会再一次增长（而且会增长到比第一次响应更大的位置），再开始衰减。
如果继续按每隔2s的频率给它冲激响应，就会变成下面这个样子：

那么，某一时刻$t$系统的输出与什么有关呢？答案是：与每一次的冲击响应都有关，但是每一次冲击响应对$t$时刻输出的贡献程度都不一样，距离$t$最近的那一次冲击响应对输出的影响最大。

某一时刻的输出就是之前很多次输入（冲击响应）乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是这个系统的输出大小随时间变化的函数

如果冲击响应再密集一点，就有积分那味儿了：

因此卷积之后得到的结果就是记忆系统输出随时间变化的函数

3.4 卷积公式推导再回顾

还记得我们在3.3中提到的话吗？

如果系统满足线性时不变系统，再把记忆系统的条件加上，那么就可以用卷积的方法，将输入信号进行分解，分解成独立的脉冲序列。系统的输出就等于独立脉冲输出的累加。

那么，也就是说我们现在的工作就是先要把输入信号分解成独立的脉冲：

先引入单位冲击函数：
$$\delta (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=0\\ 0& n\ne 0\end{array}$$
只有在n = 0时刻，才是单位冲击，其他时刻均为0
下面，我们设输入信号为$x(n)$，某一时刻$k$的输入为：$x(k)$，那么输入信号就可以分解为：$$x(k)\delta (n-k)$$
也就是只有当n = k时，输出信号才有值，其他时候没有值。
于是，整个输入信号x(n)就可以表示为所有时刻输入值对应的脉冲信号的累加$$x(n)=\sum _{-\infty }^{+\infty }x(k)\delta (n-k)$$

然后，我们还有一个定义：单位脉冲响应：就是单位脉冲信号输入到系统后产生的输出。
如果系统的单位脉冲响应是$h(n)$，那么独立脉冲输出的累加就是：$$y(n)=\sum _{-\infty }^{+\infty }x(k)h(n-k)$$
这就是卷积的公式！！

参考文献

[1][原创连载]深入浅出通信原理
[2] 信号处理-卷积