线性规划是最优化问题的一种特殊情形，实质是从多个变量中选取一组合适的变量作为解，使得这组变量满足一组确定的线性式（约束条件），而且使一个线性函数（目标函数）达到最优。

一、线性规划的数学模型

满足以下三个条件的数学模型称为线性规划：
       1，该问题可以用一组变量（决策变量）来表示一个解决方案。
       2，有目标函数，是决策变量的线性函数。
       3，有约束条件，可用一组线性等式或者不等式来表示。

线性规划问题的一般形式为：

式中，$c_1,c_2,...,c_n$叫做目标函数系数或者价值系数，$b_1,b_2,...b_n$叫做资源系数。

二、线性规划问题的标准形式

       线性规划问题的标准形式是目标函数要求最小，所有约束条件都是等式约束，且所有的决策变量都是非负的。

       其化简形式为：

       用矩阵形式表示：
$$minf(X)=c\ast X$$
$$s.t.A\ast X=b,X>=0$$
任意的线性规划问题都可以转化为标准形式：
       1，若目标函数求求最大值，则只需要将目标函数的系数乘-1，就可以变为求解最小值问题，求得其最优解后，把最优目标函数值反号即得原问题得目标函数值。
       2，若约束条件为不等式，若是“<=“则加入松弛变量，若是”>=”，则加入剩余变量，将不等式变为等式。
       3，对于无约束得变量$x_k$,可令$x_k=x_1-x_2,(x_1,x_2>=0)$。

三、线性规划问题的求解

       线性规划问题得可行解有无穷多个，与某一凸集上得无穷多个点一一对应，可以证明，最优解必定在凸集得顶点，而顶点得个数是有限的，单纯形法是采用跨越式得方式，高速求解最优解得一种方法。

3.1 基本思路

1，首先将线性规划问题转化为标准形式；
2，求解初始可行解；
3，判断是否为最优解；
4，如果不是最优，则迭代到其相邻得基本可行解并在此检验。
       单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解中，是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行解的最佳途径。

3.2 单纯形表

为了解释以上单纯形表中的各符号意思，举一个具体的题目来说明：

1，首先确定其各矩阵
$$C=(-5,-2,-3,1,-1)$$

2,得到初始单纯形表

初始基本可行解为$X=[0,0,0,8,7],Z=1$

3,变换

       $x_3$换入变量，$x_4$换出变量。

       得到可行解$X=[0,0,4,0,3],Z=-15$

       $x_1$换入变量，$x_5$换出变量。

       得到最优解$X=[6/5,0,17/5,0,0],Z=-81/5$

四、matlab求解

       首先要将原问题转化为标准形式的线性规划：

       基本函数形式为
$$[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,X_0,OPTIONS)$$