1.一阶低通滤波器

一阶低通滤波器的s域的传递函数为：
$$\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{RCs+1}=\frac{1}{\frac{s}{w_0}+1}$$
其中$$w_0=\frac{1}{RC}$$
滤波器的截止频率定义：截止频率时输出功率为传导频率的一半，在波德图相当于为降低3分贝的位置所表示的功率，因为此时功率比例 传到频带上的输出功率。
一阶低通滤波器的截至频率为：$$f_L=\frac{w_0}{2\pi }=\frac{1}{2\pi RC}$$
要编程使用低通滤波期需要将低通滤波器离散化，首先对s域的传递函数进行z变换得到(将$$s=\frac{1-z^{-1}}{T}$$带入到连续传递函数中)：
$$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{T}{RC(1-z^{-1})+T}$$
其中T为采样时间。进一步转化得到：
$$Y(n)=\frac{T}{T+RC}X(n)+\frac{RC}{T+RC}Y(n-1)$$
其中X(n)为采样值，Y(n−1)为上一次得滤波值。
令$$a=\frac{T}{T+RC}$$
则$$Y(n)=aX(n)+(1-a)Y(n-1)$$
上式可用到编程数字实现中。
进一步分析a=T/(T+RC)，当采样时间很小时，即T≪RC，有
$$a=\frac{T}{T+RC}\approx \frac{T}{RC}=w_{0}T=2\pi R{f}_L$$
此时截止频率可以表示为
$$f_L=\frac{w_0}{2\pi }=\frac{a}{2\pi T}$$
参考文章：一阶低通滤波（LPF）的原理及应用（以APM/PX4飞控为例）；一阶低通滤波的优化与分析

2.一阶高通滤波器

一阶高通滤波器的s域的传递函数为：
$$\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{RCs}{RCs+1}=\frac{1}{s+w_0}$$
其中$$w_0=\frac{1}{RC}$$
一阶高通滤波器的截至频率为：$$f_L=\frac{w_0}{2\pi }=\frac{1}{2\pi RC}$$
z变换得到：
$$\frac{Y(Z)}{X(Z)}=\frac{RC(1-z^{-1})+T}{RC(1-z^{-1})}$$
$$Y(n)=\frac{RC}{RC+T}(X(n)-X(n-1)+Y(n-1))$$
令
$$b=\frac{RC}{RC+T}=\frac{1}{2\pi f_{H}T+1}$$
则
$$Y(n)=b(X(n)-X(n-1)+Y(n-1))$$
参考文章：低通滤波器和高通滤波器的程序实现原理推导