第一章 逻辑与证明

1.1.前言

1.1.1.本章概述

命题、连接词、等价命题、逻辑等价式、命题逻辑、谓词、量词、谓词逻辑、逻辑证明

1.2.命题逻辑(Propositional Logic)

1.2.1.命题及其表示法

具有确定真值的陈述句叫做命题(Proposition)。
命题有两种类型：不能分解为更简单的陈述语句的称为原子命题(Atomic Proposition)；
由联结词，标点符号和原子命题复合构成的命题称为复合命题（Compound Proposition）。
命题常用大写字母或带下标的大写字母或数字表示，如$A$，$B_i$，$[12]$等,这些符号称为命题标识符。

1.2.2.联结词（Connectives、Logical Operator）

$\neg$：否定、非（Negation）
$\wedge$合取、且（Conjunction）
$\vee$：析取、或（Disjunction、Inclusive Or）
$\oplus$:异或（Exclusive Or）
$\to$：条件语句、蕴含（Implication）
$\leftrightarrow$：双向条件语句、双向蕴含（Bi-implication）

Truth Table

$P$	$Q$	$\neg P$	$P\wedge Q$	$P\vee Q$	$P\oplus Q$	$P\to Q$	$P\leftrightarrow Q$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

条件语句(–>)

它的真值情况如上图所示。
含义：
a necessary condition for p is q
a sufficient condition for q is p
衍生：
q →p is the converse of p →q — （逆命题）
¬ p → ¬ q is the inverse of p →q （否命题）
¬q → ¬ p is the contrapositive of p →q （逆否命题）

双条件(<–>)

$p\leftrightarrow q$的真值情况是：当且仅当p和q的真值相同的时候，才为真。
注意：$p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\wedge (q\to p)$
含义：
p if and only if q
p is necessary and sufficient for q
if p then q , and conversely
p iff q

联结词优先级（Precedence of Logical Operators ）

Operator	Precedence
$\neg$	1
$\wedge$	2
$\vee$	3
$\to$	4
$\leftrightarrow$	5

1.2.3.真值表与等价命题

定义 1
在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
n个原子命题，真值表有$2^n$行，每个原子命题都有T or F 两种指派。

定义 2
给定两个命题公式 $A$ 和 $B$ ，设 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 为所有出现于 $A$ 和 $B$ 中的原子变元，若给 $P_1,P_2,\cdots ,P_n$ 任一组真值指派， $A$ 和 $B$ 的真值都相同，则称 $A$ 和 $B$ 是等价的或逻辑相等的。记作 $A\equiv B$ 。
注意：$\equiv$ 不是逻辑连接词，所以$A\equiv B$ 不是一个命题，而一个statement，它表明A、B逻辑等价。

i.e. 等价命题（Equivalent Propositions）
两个命题是等价的，如果它们始终具有相同的真值。

所以，如果我们想证明两个命题 （逻辑相等）Equivalence或者（逻辑不相等）Non-Equivalence，就可以使用真值表来证明。

1.2.4.逻辑等价式

永真式（Tautologies）
定义 1 - 5.1
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为 $T\text{T}T$ ，则称该命题公式为重言式或永真公式。

也就是：$p\equiv q$的含义就是$p\leftrightarrow q$是个永真式。（这也是我们书上的定义）

永假式（Contradictions）
定义 1 - 5.2
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为 $F\text{F}F$ ，则称该命题公式为矛盾式或永假公式。

定义 1 - 5.3
设 $A$ 和 $B$ 为两个命题公式， $A\equiv B$ 当且仅当 $A\leftrightarrow B$ 为一个重言式。

定义 1 - 5.4
当且仅当 $P\to Q$ 是一个重言式时，我们称“ $P$ 蕴含 $Q$ ”，并记作 $P\Rightarrow Q$ 。

定理 1 - 5.1
任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。

定理 1 - 5.2
设 $P$ 和 $Q$ 为任意两个命题公式， $P\iff Q$ 的充分必要条件是 $P\Rightarrow Q$ 且 $Q\Rightarrow P$ 。

Key Logical Equivalences

命题定律	表达式
对合律 Double Negation Law	$\neg \neg P\equiv P$
幂等律 Idempotent laws	$P\vee P\equiv P,P\wedge P\equiv P$
结合律 Associative Laws	$\begin{array}{r}(P\vee Q)\vee R\equiv P\vee (Q\vee R)\\ (P\wedge Q)\wedge R\equiv P\wedge (Q\wedge R)\end{array}$
交换律 Commutative Laws	$\begin{array}{r}P\vee Q\equiv Q\vee P\\ P\wedge Q\equiv Q\wedge P\end{array}$
分配律 Distributive Laws	$\begin{array}{r}P\vee (Q\wedge R)\equiv (P\vee Q)\wedge (P\vee R)\\ P\wedge (Q\vee R)\equiv (P\wedge Q)\vee (P\wedge R)\end{array}$
吸收律 Absorption Laws	$\begin{array}{r}P\vee (P\wedge Q)\equiv P\\ P\wedge (P\vee Q)\equiv P\end{array}$
德·摩根律 DeMorgan’s Law	$\begin{array}{r}\neg (P\vee Q)\equiv \neg P\wedge \neg Q\\ \neg (P\wedge Q)\equiv \neg P\vee \neg Q\end{array}$
同一律 Identity Laws	$P\vee F\text{F}F\equiv P,P\wedge T\text{T}T\equiv P$
零律 Domination Laws	$P\vee T\text{T}T\equiv T\text{T}T,P\wedge F\text{F}F\equiv F\text{F}F$
否定律 Negation Laws	$P\vee \neg P\equiv T\text{T}T,P\wedge \neg P\equiv F\text{F}F$

More key Logical Equivalences

$P\to Q\equiv \neg P\vee Q$
$\neg (P\to Q)\equiv P\wedge \neg Q$
$P\leftrightarrow Q\equiv (P\to Q)\wedge (Q\to P)$
$P\leftrightarrow Q\equiv (P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge \neg Q)$

1.3.谓词逻辑(Predicate)

1.3.1.谓词的概念与表示

我们用大写字母表示谓词，用小写字母表示客体名称，如 $A(b)$ 、 $B(a,b)$ 、 $L(a,b,c)$ 等，表示客体是否具有谓词所表述的那个性质。
单独一个谓词不是完整的命题（谓词没有真假值），我们把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式，如果 $A$ 为 $n$ 元谓词， $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 是客体的名称，则 $A(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 就可成为命题。

Predicate can be viewed as propositional functions.
i.e.
P(x) is a propositional function of variable x

1.3.2.命题函数(Propositional Function)与量词(Quantifiers)

引入两种量词(Quantifiers)

• 全称量词
  一个用符号 $(\forall x)$ 表示，代表“对所有的 $x$ ”，称为全称量词(Universal Quantifiers)；

• 存在量词
  另一个用符号 $(\exists x)$ 表示，表示“存在一些 $x$ ”，称为存在量词(Existential Quantifiers)。全称量词和存在量词通称为量词。

• 唯一性量词
  唯一性量词表示论域有且仅有一个元素满足谓词的性质。
  符号为：$\exists !$
  但是，可以用全称量词和存在量词去代替唯一性量词。
  例如。$\exists !x(P(x))\equiv \exists x(P(x)\wedge \forall y((y!=x)\to \neg P(y))$

量词的优先级：
量词的优先级最高
比如：$\forall xP(x)\wedge Q(x)\equiv (\forall xP(x)\wedge Q(x)$

1.3.3.变元的约束

给定 $\alpha$ 为一个谓词公式，其中有一部分公式形式为 $(\forall x)P(x)$ 或 $(\exists x)P(x)$ 。这里 $\forall$ 和 $\exists$ 后面所跟的 $x$ 叫做量词的指导变元或作用变元， $P(x)$ 叫做相应量词的作用域或辖域。在作用域中 $x$ 的一切出现，称为 $x$ 在 $\alpha$ 中的约束出现， $x$ 也称为被相应量词中的指导变元所约束。在 $\alpha$ 中除去约束变元以外所出现的变元称作自由变元。自由变元可看作是公式中的参数。

设 $P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 是 $n$ 元谓词，它有 $n$ 个相互独立的自由变元，若对其中 $k$ 个变元进行约束，则成为 $n-k$ 元谓词。例如， $(\forall x)P(x,y,z)$ 是二元谓词， $(\exists y)(\forall x)P(x,y,z)$ 是一元谓词。

约束变元的改名
一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关紧要的， $(\exists x)P(x)$ 和 $(\exists y)P(y)$ 意义相同。因此，我们可以对公式 $\alpha$ 中的约束变元更改名称符号，这种遵守一定规则的更改，称为约束变元的换名。其规则为：
（1）对于约束变元可以换名，其更改的变元名称范围是量词中的指导变元，以及该量词作用域中所出现的该变元，在公式的其余部分不变。
（2）换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元名称。
举例来说，公式 $$(\forall x)(P(x)\to R(x,y))\wedge Q(x,y)$$ 可换名为 $$(\forall z)(P(z)\to R(z,y))\wedge Q(x,y)$$

变元的绑定
①变元被赋予某个特定值
②变元被量词约束

约束论域的量词

• 全称量化的约束和一个条件语句的全称量化是等价的。
  比如$\forall x<0(x^2>0)\equiv \forall (x<0\to x^2>0)$
• 存在量化的约束和一个合取语句的存在量化是等价的。
  比如$\exists y>0(y^2=4)\equiv \exists (y>0\wedge y^2=0)$

1.3.4.谓词演算的等价式与蕴含式

• 命题公式的推广
  命题演算中的等价公式表和蕴含式表都可推广到谓词演算中使用。例如
  $$\begin{gathered} (\forall x)(P(x)\to Q(x))\iff (\forall x)(\neg P(x)\vee Q(x)) \\ ((\forall x)P(x))\vee (\exists y)R(x,y)\iff \neg (\neg (\forall x)P(x)\wedge \neg (\exists y)R(x,y)) \end{gathered}$$

• 量词与联结词 $\neg$ 之间的关系
  (De Morgan’s Laws for Quantifiers)

$\neg (\forall x)P(x)\iff (\exists x)\neg P(x)$
$\neg (\exists x)P(x)\iff (\forall x)\neg P(x)$

• 量词作用域的扩张与收缩

量词的作用域中如果含有合取项或析取项，则当其中一项为命题时，可将该命题移至量词作用域之外，比如$$(\forall x)(A(x)\vee B)\iff (\forall x)A(x)\vee B$$因为在 $B$ 中不出现约束变元 $x$ 。

类似的式子还有
$$\begin{gathered} ((\forall x)A(x)\to B)\iff (\exists x)(A(x)\to B) \\ ((\exists x)A(x)\to B)\iff (\forall x)(A(x)\to B) \\ (B\to (\forall x)A(x))\iff (\forall x)(B\to A(x)) \\ (B\to (\exists x)A(x))\iff (\exists x)(B\to A(x)) \end{gathered}$$

• 量词与命题联结词之间的一些等价式
  $$\begin{gathered} (\forall x)(A(x)\wedge B(x))\iff (\forall x)A(x)\wedge (\forall x)B(x) \\ (\exists x)(A(x)\vee B(x))\iff (\exists x)A(x)\vee (\exists x)B(x) \end{gathered}$$

全称量词对合取式是可分配的；
存在量词对析取式是可分配的
注意上面两个式子反过来是不对的！

• 量词与命题联结词之间的一些蕴含式
  $$\begin{gathered} (\forall x)A(x)\vee (\forall x)B(x)\Rightarrow (\forall x)(A(x)\vee B(x)) \\ (\exists x)(A(x)\wedge B(x))\Rightarrow (\exists x)A(x)\wedge (\exists x)B(x) \\ (\forall x)(A(x)\to B(x))\Rightarrow (\forall x)A(x)\to (\forall x)B(x) \\ (\forall x)(A(x)\leftrightarrows B(x))\Rightarrow (\forall x)A(x)\leftrightarrows (\forall x)B(x) \end{gathered}$$

• 嵌套量词

• • 嵌套量词的中的等价式
    $$\begin{gathered} (\forall x)(\forall y)A(x,y)\iff (\forall y)(\forall x)A(x,y) \\ (\exists x)(\exists y)A(x,y)\iff (\exists y)(\exists x)A(x,y) \\ \begin{array}{rl}(\forall x)(\forall y)A(x,y)& \Rightarrow (\exists y)(\forall x)A(x,y)\\ & \Rightarrow (\forall x)(\exists y)A(x,y)\\ & \Rightarrow (\exists x)(\exists y)A(x,y)\end{array} \end{gathered}$$
• • 嵌套量词的否定
    利用量词的德摩根律将否定层层深入。

1.3.5.前束范式(拓展内容)

定义 2 - 6.1
一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延申到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。

定理 2 - 6.1
任意一个谓词公式，均和一个前束范式等价。

例题1 化公式 $$(\forall x)(\forall y)((\exists z)(P(x,z)\wedge P(y,z))\to (\exists u)Q(x,y,u))$$ 为前束范式。
解：否定深入
$$\begin{array}{rl}原式& \iff (\forall x)(\forall y)(\neg (\exists z)(P(x,z)\wedge P(y,z))\vee (\exists u)Q(x,y,u))\\ & \iff (\forall x)(\forall y)(\forall z)(\exists u)(\neg P(x,z)\vee \neg P(y,z)\vee Q(x,y,u))\end{array}$$

例题2 化 $\text{wff }D$ ： $$(\forall x)\left[(\forall y)P(x)\vee (\forall z)q(z,y)\to \neg (\forall y)R(x,y)\right]$$ 为前束合取范式。
解：取消多余量词→换名→消去条件联结词→否定深入→量词推到最左边
D ⇔ ( ∀ x ) [ P ( x ) ∨ ( ∀ z ) q ( z , y ) → ¬ ( ∀ y ) R ( x , y ) ] ⇔ ( ∀ x ) [ P ( x ) ∨ ( ∀ z ) q ( z , y ) → ¬ ( ∀ w ) R ( x , w ) ] ⇔ ( ∀ x ) { ¬ [ P ( x ) ∨ ( ∀ z ) q ( z , y ) ] ∨ ¬ ( ∀ w ) R ( x , w ) } ⇔ ( ∀ x ) [ ¬ P ( x ) ∧ ( ∃ z ) ¬ q ( z , y ) ∨ ( ∃ w ) ¬ R ( x , w ) ] ⇔ ( ∀ x ) ( ∃ z ) ( ∃ w ) [ ( ¬ P ( x ) ∨ ¬ R ( x , w ) ) ∧ ( ¬ q ( z , y ) ∨ ¬ R ( x , w ) ) ] \begin{aligned}D&\Leftrightarrow(\forall x)\left[P(x)\vee(\forall z)q(z,y)\rightarrow\neg(\forall y)R(x,y)\right]\\&\Leftrightarrow(\forall x)\left[P(x)\vee(\forall z)q(z,y)\rightarrow\neg(\forall w)R(x,w)\right]\\&\Leftrightarrow(\forall x)\left\{\neg [P(x)\vee(\forall z)q(z,y)]\vee\neg(\forall w)R(x,w)\right\}\\&\Leftrightarrow(\forall x)[\neg P(x)\wedge(\exist z)\neg q(z,y)\vee(\exist w)\neg R(x,w)]\\&\Leftrightarrow(\forall x) (\exist z)(\exist w)[(\neg P(x)\vee\neg R(x,w))\wedge(\neg q(z,y)\vee\neg R(x,w))]\end{aligned} D​⇔(∀x)[P(x)∨(∀z)q(z,y)→¬(∀y)R(x,y)]⇔(∀x)[P(x)∨(∀z)q(z,y)→¬(∀w)R(x,w)]⇔(∀x){¬[P(x)∨(∀z)q(z,y)]∨¬(∀w)R(x,w)}⇔(∀x)[¬P(x)∧(∃z)¬q(z,y)∨(∃w)¬R(x,w)]⇔(∀x)(∃z)(∃w)[(¬P(x)∨¬R(x,w))∧(¬q(z,y)∨¬R(x,w))]​

1.4.推理规则(Rules of Inference)

1.4.1.有效论证（Valid Arguments)

命题逻辑中的论证是由一串命题($r_1、r_2、\dots \dots r_n、s$)构成。
如果称这个论证是有效的，也就得满足，如果前提全为真，则结果也为真。
(An argument in propositional logic is a sequence of propositions.)

$if(s_1\wedge s_2\dots \dots \wedge s_n)=true,thenc=true.$
i.e.
$(s_1\wedge s_2\dots \dots \wedge s_n)\to c\equiv T$

更一般地，如果用有效的论证（Valid Arguments从一串premise（$s_1、s_2、\dots \dots s_n$）推导出新的一串premise（$S_1、S_2\dots \dots S_m$）。
论证（$S_1、S_2\dots \dots S_n、C$）也是有效地，因为$(S_1\wedge S_2\dots \dots \wedge S_n)\to C\equiv T$。

1.4.2.命题逻辑中的有效论证（Valid Arguments in Propositional Logic）

1.4.3.谓词演算的推理理论（Rules of Inference for Quantified Statement）

（1）全称指定规则，即 $US$ 规则（全称量词消去律）。
$$\frac{(\forall x)P(x)}{\therefore P(c)}$$
（2）全称推广规则，即 $UG$ 规则（全称量词引入律）。
$$\frac{P(c)foranarbitraryc}{\therefore (\forall x)P(x)}$$
（3）存在指定规则，即 $ES$ 规则（全称量词消去律）。
$$\frac{(\exists x)P(x)}{\therefore P(c)forsomeelementc}$$
（4）存在推广规则，即 $EG$ 规则（存在量词引入律）。
$$\frac{P(c)forsomeelementc}{\therefore (\exists x)P(x)}$$