LDPC

LDPC码：低密度奇偶校验码（Low Density Parity Check Code），最初由 Gallager 提出，后被Mackay、Spielman、Wiberg 等人重新发现。

LDPC码可以从稀疏二部图（sparse bipartite graphs）G=({M,C},E)\mathbb G = (\{\mathbb M,\mathbb C\},\mathbb E)G=({M,C},E)中得到：图的一边的$n$个点叫做消息点（message nodes）$\mathbb{M}$，另一边的$r$个点叫做校验点（check nodes）$\mathbb{C}$，两部之间有稀疏的边$\mathbb{E}$。LDPC码的码字集合为：
C={c∈GF(2)n:∀i=1,⋯ ,r,∑(Mj,Ci)∈Ecj=0} \mathscr C = \{ c \in GF(2)^n: \forall i=1,\cdots,r, \sum_{(\mathbb M_j,\mathbb C_i) \in \mathbb E} c_j = 0 \} C={c∈GF(2)n:∀i=1,⋯,r,(Mj​,Ci​)∈E∑​cj​=0}
如果二部图是正则的（regular，同一部点的度数相同），那么得到的LDPC码叫做正则LDPC码；否则叫做非正则的（irregular）。任意线性码都对应某个二部图，但不一定稀疏。LDPC码的稀疏性导致解码复杂度是线性的（一般线性码的解码复杂度是指数级，属于$NP-hard$类）。

如果将二部图用连接矩阵$H$来表示，$H\in GF(2{)}^{r\times n}$，其中
$$H_{ij}=1⟺({\mathbb{M}}_j,{\mathbb{C}}_i)\in \mathbb{E}$$
于是我们就获得了LDPC码的校验矩阵。正则码校验矩阵$H$的每一行的行重都相等，同时每一列的列重也都相等。可以计算$H$对应的生成矩阵$G$用于编码。校验矩阵$H$包含稀疏二部图结构，可用于快速纠错。注意，不要对$H$做变换，否则就变成一般解码问题了。

在译码算法里要求信息的独立性，如果图$\mathbb{G}$中的最小圈长为$girth=2L$，那么算法只在前$L$轮迭代满足独立性假设。因此如果存在小圈，那么算法中从某节点发出的消息最终会影响其本身，严重影响译码性能。LDPC码的稀疏性，使得出现小圈的可能性减小，不过在设计中还是要仔细删除小圈。

二部图中的圈，可以直接在连接矩阵$H$中看到：从某个$1$出发，依次水平移动、竖直移动到下一个$1$，最终回到起始点。对于$4$长的圈，就是一个矩形，它的四个顶点位置都是$H$里的$1$。

QC-LDPC

实际运用中的码长$n$往往非常大，且随机的构造方法不利于硬件实现。因此可以用代数方法精确地构造LDPC校验矩阵，其性能分析更加容易，同时译码也更方便。这就是拟循环LDPC码。

令$e_i\in GF(2{)}^L$表示第$i$位是$1$的单位行向量，定义循环子矩阵：
$$I_1=\left[\begin{array}{c}{e}_2\\ e_3\\ ⋮\\ e_n\\ e_1\end{array}\right]\in GF(2{)}^{L\times L}$$
定义母矩阵$H_b=(h_{ij})\in GF(2{)}^{r\times n}$以及移位次数矩阵$P=(p_{ij})\in {\mathbb{Z}}^{r\times n}$，构造校验矩阵：
$$H=\left[\begin{array}{cccc}{h}_{11}{I}_1^{p_{11}}& h_{12}{I}_1^{p_{12}}& \cdots & h_{1n}{I}_1^{p_{1n}}\\ h_{21}{I}_1^{p_{21}}& h_{22}{I}_1^{p_{22}}& \cdots & h_{2n}{I}_1^{p_{2n}}\\ ⋮& & & \\ h_{r1}{I}_1^{p_{r1}}& h_{r2}{I}_1^{p_{r2}}& \cdots & h_{rn}{I}_1^{p_{rn}}\end{array}\right]\in GF(2{)}^{rL\times nL}$$
其中的$h_{ij}{I}_1^{p_{ij}}$，当$h_{ij}=0$时是零矩阵，当$h_{ij}=1$时是循环右移$p_{ij}$次的单位矩阵。如果令$h_{ij}=0$时对应的$p_{ij}=\infty$，那么就只需要存储矩阵$P$，不必存储稀疏矩阵$H$中的$1$的位置。

在母矩阵$H_b$的基础上，需要使用各种算法，仔细地确定$P$的值，来避免二部图中出现小圈。

译码算法

Message-Passing算法

消息传递算法是一种迭代算法，每轮迭代中在二部图的消息节点和校验节点之间有着消息的传递。从消息节点发出的消息，是关于“这个消息节点的值、以及它的邻居校验节点发给它的消息”的函数值（消息节点认为这个比特应该是什么）；反之亦然（校验节点认为这个比特应该是什么）。经过多轮迭代，收敛到一个满足$c{H}^T=0$的码字；若无法收敛，则译码失败。重要的是，消息节点$m$发送给校验节点$c$的消息中，不应包含在前一轮里从$c$返回到到$m$的消息；反之亦然。

它的一个子类算法：Belief Propagation算法，二部图之间传递的消息是置信度（Belief）。用于在BEC信道（the binary erasure channel，擦除信道）上的LDPC译码。要使用似然函数$L(x)=Pr[x=0]/Pr[x=1]$，具体如何计算本文暂且搁置（作者没仔细看(￣︶￣*)），以后需要时再说。

Bit-Flipping算法

这是一种硬判决的译码方案（hard decision decoding），即二部图中传输的消息是$0,1$比特值，而非概率。用于在BSC信道（the binary symmetric channel ，对称信道）上的LDPC译码。

1. 在每一轮迭代中，每个消息节点$v$将自己的比特值发送给所有的邻居校验节点
2. 然后，邻居校验节点计算除了$v$以外的邻居消息节点发送的比特值的加和，发送给节点$v$
3. 如果消息节点$v$接收到的所有返回值都是相同的比特$b$，那么就设置自己的比特值为$b$，否则保持自己的比特值
4. 判断$c^{\prime }{H}^T=0$是否满足，或者是否达到预设的最大迭代轮数。否则，继续迭代。

上述算法虽然很简单，但译码效果较差，且容易陷入死循环。改进版本：对第$i$轮迭代中度（degree）为$j$的点的设置阈值$b_{ij}$，只要有超过阈值的邻居校验节点的返回值相同，那么就修改自己的比特；其他的过程不变。这个改进版本 slightly more powerful，如果设置$b_{ij}=j-1$就退化为原始版本。一种方案是设置$b_{ij}=j/2$，简单地少数服从多数。

Sum-Product算法

将BP算法里的概率信息都使用对数条件似然函数$\ln L(x)$，于是乘法运算就变成了加法运算，解码速度大幅提升。