传输线和负载电阻的反射系数、史密斯图及行驻波

列出了归一化负载、史密斯圆图中的正向反射系数S11、传输线上的电压波形、驻波比之间的关系表

JERRY. LIU

5317人浏览 · 2022-07-24 14:29:59

JERRY. LIU · 2022-07-24 14:29:59 发布

1. 传输线及其特征阻抗

传输线：用于定向传输电磁波的导线叫传输线。
均匀传输线：若传输线的导体材料、横截面形状与尺寸、相对位置及周围介质沿线都无变化，则称为均匀传输线。
理想均匀传输线：若均匀传输线为电导率无穷大的理想导体，周围介质为电导率为 0 的理想介质，则称为理想均匀传输线。
特征阻抗：传输线在引导电磁波时，所引导的电磁波的电场强度与磁场强度的比值，称为传输线的特征阻抗。特征阻抗的值为传输线单位长度的电感与单位长度的电容之比开根号。特征阻抗也为介质的磁导率与介电常数之比开根号，单位为欧姆。即：
$\begin{align} Z_0=\frac{E}{H}=\sqrt\frac{L_0}{C_0}=\sqrt\frac{\mu}{\varepsilon} \end{align}$
其中， $Z_0$ 为传输线特征阻抗， $E$ 为传输线引导的电磁波的电场强度，单位为V/m, $H$ 为传输线引导的电磁波的磁场强度，单位为A/m， $L_0$ 为传输线单位长度的电感量，单位为H/m, $C_0$ 为传输线单位长度的电容，单位为F/m.

$μ\mu$ 为真空的磁导率，为 $4π∗10−74\pi*10^{-7}$ H/m; $ε\varepsilon$ 为真空的介电常数，为 $136π∗10−9\frac{1}{36\pi}*10^{-9}$ F/m. 因此，当电磁波在真空中传播时，真空的特征阻抗为 $120π=387120\pi=387$ 欧姆

理想传输线的特征阻抗为正实数，实际的传输线由于导体有限的电导率和介质有限的电阻率，其特征阻抗为复数。

2. 传输线的反射系数、行波、驻波、驻波比

正弦信号在均匀传输线1上传输时，遇到负载 $Z_L$ 或进入另一个均匀传输线2后，若前后阻抗不匹配，会发生信号的反射和透射。

入射正弦波可表示为： $U˙+e−jβz\dot{U}^+ \rm{e}^{-j\beta z}$ ，该电压波为行波，行波的特点为，随着时间的推进，波形向前进方向移动，波形在前进方向上任一点的振幅相同。这里设 $z$ 轴为前进方向。

反射信号可表示为: $U˙−ejβz\dot{U}^{-} \mathrm{e}^{j\beta z}$ ，该波为行波，波形前进的方向为 $- z$ 轴方向。

电磁波在传播过程中，是时间与空间的函数. 在每一时刻，空间中的电磁场随位置的不同而不同；对于空间中的任一点，其电磁场随着时间的变化而变化.

行波：一种横波，在直角空间坐标系中，随着时间的推进，波形向 $z$ 方向移动；在 $z$ 轴上的任一点波形为在 $x$ 轴或 $y$ 轴上随时间变化的正弦波。数学表达式为： $U˙e−jβz\dot{U} \rm{e}^{-j\beta z}$ ，其中 $U˙=Ueωt\dot{U}=U\rm{e}^{\omega t}$ 是时间的变量. 这里 $−jβz{-j\beta z}$ 中的负号表示了波是向正 z 轴方向传播（读者可以想想为什么？欢迎提问）.因此表达式 $U˙e−jβz\dot{U} \rm{e}^{-j\beta z}$ 能够刻画空间中向z轴正方向传播的电磁波行波的变化规律.

驻波：电磁波在非均匀传输介质中传播时会引起反射，反射波与入射波叠加后，形成的在传播方向上 $z$ 轴上的某些固定点振幅最大，某些固定点振幅最小，这种波被称为驻波。

反射系数：反射波与入射波幅度的比值，即S参数的 $S 11$ ,表示为：
$\begin{align} \Gamma = \frac{\dot{U}^{-}}{\dot{U}^{+}}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=S_{11} = \vert S_{11} \vert \rm{e}^{j\phi} \end{align}$
其中， $Z_L$ 为负载阻抗， $Z_0$ 为传输线阻抗。

行波驻波的叠加：电磁波在传输过程中，遇到阻抗不一致时会发生反射，传输线中的信号为入射波与反射波的叠加:
$U˙+e−jβz+U˙−ejβz\dot{U}^+ \rm{e}^{-j\beta z}+\dot{U}^{-} \mathrm{e}^{j\beta z}$ 该波形为两个相反方向传播的行波的叠加，是行波与驻波的混合.
该表达式又可变化为：
$\begin{align} \dot{U}&=\dot{U}^+ \rm{e}^{-j\beta z}+\dot{U}^{-} \mathrm{e}^{j\beta z}\\ &=\dot{U}^+\rm{e}^{-j\beta z}(1+\vert S_{11} \vert \rm{e}^{j(2\beta z+\phi)}) \end{align}$
式中， $U˙+e−jβz\dot{U}^+\rm{e}^{-j\beta z}$ 为向z轴传播的行波，系数 $1+∣S11∣ej(2βz+ϕ)1+\vert S_{11} \vert \rm{e}^{j(2\beta z+\phi)}$ 为位置z的函数，不同的位置对应的行波的幅度不同. 某些位置的幅度大，某些位置的幅度小. 因此该波既有向前行走的特点，又有停驻的特点，是行波与驻波的混合.

驻波比：传输线上的电压和电流波为入射的行波与反射的行波的叠加，包含被反射波抵消掉形成的驻波和入射行波的残余行波，在传输方向上某些区域形成最高电压峰值 $U_{max}$ 和最低电压峰值 $U_{min}$ ,驻波比为最高电压峰值与最低电压峰值之比：
$\begin{align} \rm{VSWR} &= \frac{U_{max}}{U_{min}} \\ &=\frac{1+\vert S_{11} \vert}{1-\vert S_{11} \vert} \end{align}$

3. S参数史密斯图

S参数为散射参数，描述一个双端口系统的输入输出特性。S11为反射系数，也就是输入回波损耗；S21为正向传输参数，即增益；S12为反向传输参数，即隔离；S22为输出反射系数，即输出回波损耗。
$\begin{align} S =\begin{pmatrix} S11 & S12 \\ S21 & S22 \end{pmatrix} \end{align}$
采用史密斯图来描述正向反射系数 $S 11$ 与归一化负载阻抗 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 之间的关系。正向反射系数 $S 11$ 为模小于等于1的复数；对于理想均匀传输线，R0为一实数值， $R_L$ 为一实部为正的复数值，因此 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为复数平面坐标系的右半平面中的一点。 $S 11$ 与 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 之间的对应关系为：
$\begin{align} S11 = \frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=\frac{\frac{Z_L}{Z_0}-1}{\frac{Z_L}{Z_0}+1} \end{align}$

采用史密斯圆图来表示 $S 11$ 参数，

$S 11$ 参数的范围为模小于等于 1 的圆，
史密斯图中的实轴对应归一化负载阻抗 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为纯阻性负载，其中 $S 11 = - 1$ 对应着 $ZLZ0=0\frac{Z_L}{Z_0} = 0$ , $S 11 = 0$ 对应着 $ZLZ0=1\frac{Z_L}{Z_0} = 1$ , $S 11 = 1$ 对应着 $ZLZ0=∞\frac{Z_L}{Z_0} = \infty$ .
史密斯图中的单位圆对应着 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为纯虚数，其中单位圆上半部分对应着 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为虚部为正的纯虚数，即负载为纯感性负载；单位圆下半部分对应着 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为虚部为负数的纯虚数，即负载为纯容性负载.
史密斯图中S11的圆心在 $(1 - R, 0)$ ，半径为 $R$ 的圆对应着的 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 的实部为 $1−RR\frac{1-R}{R}$ . 圆越靠右，半径越小
史密斯图中的圆心在 $(1, X)$ ，半径为 $X$ 的圆对应着 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 具有相同的虚部 $1X\frac{1}{X}$
史密斯图中的实轴上部对应着 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 的虚部为正，即感性负载；实轴下部对应着 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 的虚部为负值，即容性负载；

4. 正弦信号在传输线上的波形与史密斯图的关系

正弦电压、电流信号在理想均匀传输线上传输并遇到负载时，若负载的阻抗与传输线的阻抗不匹配，传输的电压、电流信号会有一部分反射回传输线，另一部分传输到负载。

在以下的叙述中，设理想均匀传输线特征阻抗为 $Z_0$ ，沿 $z$ 轴放置，输入电压、电流信号向 $z$ 轴的正方向传播，在 $z = 0$ 处传输线接一特征阻抗为 $Z_L$ 的负载。 $U˙+e−jβz\dot{U}^+ \rm{e}^{-j\beta z}$ 和 $U˙−ejβz\dot{U}^- \rm{e}^{j\beta z}$ 分别为入射波和反射波的电压信号. $I˙+e−jβz\dot{I}^+ \rm{e}^{-j\beta z}$ 和 $I˙−ejβz\dot{I}^- \rm{e}^{j\beta z}$ 分别为入射波和反射波的电流信号. $β=2πλ\beta = \frac{2\pi}{\lambda}$ 为传输线相位常数， $λ\lambda$ 为传输电磁场的波长. $λ=cf\lambda=\frac{c}{f}$ ， $c, f$ 分别为电磁波的波速与频率. $U$ 为输入正弦电压信号振幅. $I$ 为输入正弦电流信号振幅. $S11=∣S11∣ejϕS_{11}=|S_{11}|\mathrm{e}^{j\phi}$

对于电压信号，有：
$\begin{align} \dot{U}&=\dot{U}^+ \rm{e}^{-j\beta z}+\dot{U}^{-} \mathrm{e}^{j\beta z}\\ &=\dot{U}^+\rm{e}^{-j\beta z}(1+\vert S_{11} \vert \rm{e}^{j(2\beta z+\phi)}) \end{align}$

在 $2βz+ϕ=02\beta z+\phi=0$ ，即 $z=−ϕ2β=−ϕ4πλz=-\frac{\phi}{2\beta}=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda$ 时， $U˙\dot{U}$ 取最大振幅值 $Umax=(1+∣S11∣)UU_{max}=(1+\vert S_{11} \vert)U$

在 $2βz+ϕ+π=02\beta z+\phi+\pi=0$ ，即 $z=−ϕ+π2β=−ϕ4πλ−λ4z=-\frac{\phi+\pi}{2\beta}=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda-\frac{\lambda}{4}$ 时， $U˙\dot{U}$ 取最小振幅值 $Umin=(1−∣S11∣)UU_{min}=(1-\vert S_{11} \vert)U$ .

对于电流信号，有：
$\begin{align} \dot{I}&=\dot{I}^+ \rm{e}^{-j\beta z}-\dot{I}^{-} \mathrm{e}^{j\beta z}\\ &=\dot{I}^+\rm{e}^{-j\beta z}(1-\vert S_{11} \vert \rm{e}^{j(2\beta z+\phi)})\\ &=\dot{I}^+\rm{e}^{-j\beta z}(1+\vert S_{11} \vert \rm{e}^{j(2\beta z+\phi+\pi)}) \end{align}$

在 $2βz+ϕ+π=02\beta z+\phi+\pi=0$ ，即 $z=−ϕ+π2β=−ϕ4πλ−λ4z=-\frac{\phi+\pi}{2\beta}=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda-\frac{\lambda}{4}$ 时， $I˙\dot{I}$ 取最大振幅值 $Imax=(1+∣S11∣)II_{max}=(1+\vert S_{11} \vert)I$ ；

在 $2βz+ϕ+π=π2\beta z+\phi+\pi=\pi$ ，即 $z=−ϕ2β=−ϕ4πλz=-\frac{\phi}{2\beta}=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda$ 时， $I˙\dot{I}$ 取最小振幅值 $Imin=(1−∣S11∣)II_{min}=(1-\vert S_{11} \vert)I$ .

不同负载阻抗下，反射波与入射波在传输线中叠加的波的特点

对应不同的负载，传输线在负载端的反射系数 $S11=∣S11∣ejϕS_{11} = \vert S_{11} \vert \rm{e}^{j\phi}$ 不同，反射波与入射波的合成有不同的特点：

若归一化负载 $ZLZ0=0\frac{Z_L}{Z_0}=0$ ，即负载为短路，对应 $S11=−1=ejπS_{11}=-1=\rm{e}^{j\pi}$ ，则传输线上的电压波在 $z=−λ4z=-\frac{\lambda}{4}$ 处振幅最大 $U_{max}=2U$ ，在 $z=−λ4−π4z=-\frac{\lambda}{4}-\frac{\pi}{4}$ 处振幅最小 $U_{min}=0$ ，此时驻波比 $VSWR=∞\rm{VSWR}=\infty$
若归一化负载 $ZLZ0=∞\frac{Z_L}{Z_0}=\infty$ ，即负载为开路，对应 $S11=1=ej0S_{11}=1=\rm{e}^{j0}$ ，则传输线上的电压波在 $z = 0$ 处振幅最大 $U_{max}=2U$ ，在 $z=−λ4z=-\frac{\lambda}{4}$ 处振幅最小 $U_{min}=0$ ，此时驻波比 $VSWR=∞\rm{VSWR}=\infty$
若归一化负载 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为正实数且小于1，即负载为纯阻性负载且小于传输线的特征阻抗，对应 $S11∈(−1,0)S_{11}\in(-1,0)$ ，则传输线上的电压波在 $z=−λ4z=-\frac{\lambda}{4}$ 处振幅最大 $U_{max}=(1-S_{11})U$ ，在 $z = 0$ 处振幅最小 $U_{min}=(1+S_{11})U$ ，此时驻波比 $VSWR∈(∞,1)\rm{VSWR}\in(\infty,1)$
若归一化负载 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为正实数且大于1，即负载为纯阻性负载且大于传输线的特征阻抗，对应 $S11∈(0,1)S_{11}\in(0,1)$ ，则传输线上的电压波在 $z = 0$ 处振幅最大 $U_{max}=(1+S_{11})U$ ，在 $z=−λ4z=-\frac{\lambda}{4}$ 处振幅最小 $U_{min}=(1-S_{11})U$ ，此时驻波比 $VSWR∈(1,∞)\rm{VSWR}\in(1,\infty)$
若归一化负载 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为纯虚数且虚部大于0，即负载为纯感性负载，对应 $S11=ejϕ,ϕ∈(0,π)S_{11} = \rm{e}^{j \phi},\phi\in(0,\pi)$ ，则传输线上的电压波在 $z=−ϕ4πλz=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda$ 处振幅最大 $U_{max}=2U$ ，在 $z=−ϕ4πλ−λ4z=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda-\frac{\lambda}{4}$ 处振幅最小 $U_{min}=0$ ，此时驻波比 $VSWR=∞\rm{VSWR}=\infty$
若归一化负载 $ZLZ0\frac{Z_L}{Z_0}$ 为纯虚数且虚部小于0，即负载为纯容性负载，对应 $S11=ejϕ,ϕ∈(−π,0)S_{11} = \rm{e}^{j \phi},\phi\in(-\pi,0)$ ，则传输线上的电压波在 $z=−ϕ4πλz=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda$ 处振幅最大 $U_{max}=2U$ ，在 $z=−ϕ4πλ−λ4z=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda-\frac{\lambda}{4}$ 处振幅最小 $U_{min}=0$ ，此时驻波比 $VSWR=∞\rm{VSWR}=\infty$

5. 归一化负载、史密斯圆图中的 $S_{11}$ 、传输线上的电压波形、驻波比之间的关系表

设理想均匀传输线特征阻抗为 $Z_0$ ，沿 $z$ 轴放置，输入电压、电流信号向 $z$ 轴的正方向传播，在 $z = 0$ 处传输线接一特征阻抗为 $Z_L$ 的负载。 $U˙+e−jβz\dot{U}^+ \rm{e}^{-j\beta z}$ 和 $U˙−ejβz\dot{U}^- \rm{e}^{j\beta z}$ 分别为入射波和反射波的电压信号. $I˙+ejβz\dot{I}^+ \rm{e}^{j\beta z}$ 和 $I˙−ejβz\dot{I}^- \rm{e}^{j\beta z}$ 分别为入射波和反射波的电流信号. $β=2πλ\beta = \frac{2\pi}{\lambda}$ 为传输线相位常数， $λ\lambda$ 为传输电磁场的波长. $U$ 为输入正弦电压信号振幅. $I$ 为输入正弦电压信号振幅.

下表列出了归一化负载、史密斯圆图中的 $S_{11}$ 、传输线上的电压波形、驻波比之间的关系：

归一化负载 $Z^{'}$	负载特性	史密斯图正向反射系数 $S11=∣S11∣ejϕS_{11}=\vert S_{11} \vert \rm{e}^{j\phi}$	传输线上的电压波驻波最大值位置 $z$	驻波最大值 $U_{max}$	传输线上的电压波驻波驻波最小值位置 $z$	驻波最小值 $U_{min}$	驻波比 $VSWR\rm{VSWR}$
$Z′=ZLZ0Z^{'}=\frac{Z_L}{Z_0}$	–	$Z′−1Z′+1\frac{Z^{'}-1}{Z^{'}+1}$	$z=−ϕ4πλz=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda$	$(1+∣S11∣)U(1+\vert S_{11} \vert)U$	$z=−ϕ4πλ−λ4z=-\frac{\phi}{4\pi}\lambda-\frac{\lambda}{4}$	$(1−∣S11∣)U(1-\vert S_{11} \vert)U$	$1+∣S11∣1−∣S11∣\frac{1+\vert S_{11} \vert}{1-\vert S_{11} \vert}$
1	阻抗匹配	$0$	无驻波	$U$	无驻波	$U$	1
0	负载端短路	$- 1$	$−λ4-\frac{\lambda}{4}$	$2 U$	$0$	$0$	$∞\infty$
$∞\infty$	负载端开路	$1$	$0$	$2 U$	$−λ4-\frac{\lambda}{4}$	$0$	$∞\infty$
纯实数且小于1	纯阻性负载，负载电阻较小	实数且 $∈(−1,0)\in(-1,0)$	$−λ4-\frac{\lambda}{4}$	$1-S_{11})U$	$0$	$1+S_{11})U$	$1−S111+S11\frac{1- S_{11} }{1+ S_{11} }$
纯实数且大于1	纯阻性负载，负载电阻较大	实数且 $∈(0,1)\in(0,1)$	$0$	$1+S_{11})U$	$−λ4-\frac{\lambda}{4}$	$1-S_{11})U$	$1+S111−S11\frac{1+ S_{11} }{1- S_{11} }$
纯虚数且虚部大于0	纯感性负载	单位圆的上半部分 $ejϕ,ϕ∈(0,π)\rm{e}^{j \phi},\phi\in(0,\pi)$	$−ϕ4πλ-\frac{\phi}{4\pi}\lambda$	$2 U$	$−ϕ4πλ−λ4-\frac{\phi}{4\pi}\lambda-\frac{\lambda}{4}$	$0$	$∞\infty$
纯虚数且虚部小于0	纯容性负载	单位圆的下半部分 $ejϕ,ϕ∈(−π,0)\rm{e}^{j \phi},\phi\in(-\pi,0)$	$ϕ4πλ−λ4\frac{\phi}{4\pi}\lambda-\frac{\lambda}{4}$	$2 U$	$−ϕ4πλ-\frac{\phi}{4\pi}\lambda$	$0$	$∞\infty$
实部为 $R$	负载阻性部分 $R$ 保持不变，电抗部分 $X∈(−∞,∞)X\in(-\infty,\infty)$	以 $RR+1\frac{R}{R+1}$ 为圆心， $1R+1\frac{1}{R+1}$ 为半径的圆
虚部为 $X$	负载阻性部分 $R∈(−∞,∞)R\in(-\infty,\infty)$ ，电抗部分 $X$ 保持不变	以 $1+j1X1+j\frac{1}{X}$ 为圆心， $1X\frac{1}{X}$ 为半径的圆

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