冲激信号定义

冲激信号，被戏称“看不见”的信号，在非零处的值小到看不着，而在零处的值却大到看不着，但是它却真实存在（具有一定的能量）。一种定义方式如下：
$$\{\begin{array}{l}A\delta (t-t_0)=0,t\ne t_0\\ A\delta (t-t_0)\to +\infty ,t=t_0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }A\delta (t-t_0)dt=A\end{array}$$
冲激信号，更像是一种“归类”。由泛函数定义的冲激信号为
$${\int }_{-\infty }^{\infty }A\delta (t-t_0)f(t)dt=Af(t_0)$$
冲激信号是能将任意连续信号 $f(t)$ 映射为一个确定数值的一类信号，也就是说只要满足上式的映射信号，就是一个冲激信号。

展缩特性

泛函数的定义方式有利于我们的数学推导。

设存在一个冲激信号的形式为 $\delta (at+b)$，其中 $a\ne 0$。我们分别讨论 $a$ 的正负的情况。

1. 当 $a>0$ 时，写出积分形式，并作变量替换 $m=at+b$， 则有
   $$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (at+b)f(t)dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (m)f(\frac{m-b}{a})\frac{dm}{a}\\ & =\frac{1}{a}f(-\frac{b}{a})\end{array}$$
   上式的结果与冲激信号 $\frac{1}{a}\delta (t+\frac{b}{a})$ 相同，即
   $${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{a}\delta (t+\frac{b}{a})f(t)dt=\frac{1}{a}f(-\frac{b}{a})$$
   按照广义函数相等的准则，认为这两种信号的形式是等价的，即
   $$\delta (at+b)=\frac{1}{a}\delta (t+\frac{b}{a}),a>0$$

2. 当 $a<0$ 时，与上一情况唯一的不同点在于变量替换后积分区间的变换（多了个负号）
   $$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (at+b)f(t)dt\\ & ={\int }_{+\infty }^{-\infty }\delta (m)f(\frac{m-b}{a})\frac{dm}{a}\\ & =-{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (m)f(\frac{m-b}{a})\frac{dm}{a}\\ & =-\frac{1}{a}f(-\frac{b}{a})\end{array}$$
   最终有
   $$\delta (at+b)=-\frac{1}{a}\delta (t+\frac{b}{a}),a<0$$

综上，即有
$$\delta (at+b)=\frac{1}{|a|}\delta (t+\frac{b}{a})$$

冲激偶信号的证明 也是类似的思路，首先是冲激偶信号泛函数定义为
$${\int }_{-\infty }^{\infty }A{\delta }^{\prime }(t-t_0)f(t)dt=-A{f}^{\prime }(t_0)$$
设某一个冲激偶信号的形式为 ${\delta }^{\prime }(at+b)$，其中 $a\ne 0$，则有：

1. 当 $a>0$ 时，
   $$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{\prime }(at+b)f(t)dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{\prime }(m)f(\frac{m-b}{a})\frac{dm}{a}\\ & =-\frac{1}{a}{\left[\frac{df(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]}_{m=0}\\ & =-\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}{f}^{\prime }(\frac{-b}{a})\end{array}$$
   与冲激偶信号 $\frac{1}{a^2}\delta ’(t+\frac{b}{a})$ 相同，即
   $${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{a^2}{\delta }^{\prime }(t+\frac{b}{a})f(t)dt=-\frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a})$$
   根据广义函数等价原则，两者相等，即
   $${\delta }^{\prime }(at+b)=\frac{1}{a^2}{\delta }^{\prime }(t+\frac{b}{a}),a>0$$

2. 当 $a<0$ 时，同样的流程（注意积分区间的变换）
   $$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{\prime }(at+b)f(t)dt\\ & ={\int }_{+\infty }^{-\infty }{\delta }^{\prime }(m)f(\frac{m-b}{a})\frac{dm}{a}\\ & =-{\int }_{-\infty }^{\infty }{\delta }^{\prime }(m)f(\frac{m-b}{a})\frac{dm}{a}\\ & =\frac{1}{a}{\left[\frac{df(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]}_{m=0}\\ & =\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}{f}^{\prime }(\frac{-b}{a})\end{array}$$
   与冲激偶信号 $-\frac{1}{a^2}{\delta }^{\prime }(t+\frac{b}{a})$ 相同，即
   $${\int }_{-\infty }^{\infty }-\frac{1}{a^2}{\delta }^{\prime }(t+\frac{b}{a})f(t)dt=\frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a})$$
   故两者等价，即
   $${\delta }^{\prime }(at+b)=-\frac{1}{a^2}{\delta }^{\prime }(t+\frac{b}{a}),a<0$$

综上，有
$${\delta }^{\prime }(at+b)=\frac{1}{a|a|}{\delta }^{\prime }(t+\frac{b}{a})$$