傅里叶级数

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(n{w}_{0}t)+b_{n}sin(n{w}_{0}t)]$$

由于正弦函数和余弦函数构成正交函数系，进行如下推导：

计算 $a_0$
$$\begin{gathered} {\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}f(t)dt={\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}\frac{a_0}{2}dt=\frac{\pi }{w_0}{a}_0 \\ \Rightarrow a_0=\frac{w_0}{\pi }{\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}f(t)dt=\frac{2}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)dt \end{gathered}$$

计算 $a_n$
$$\begin{gathered} {\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}f(t)cos(n{w}_{0}t)dt={\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}{a}_{n}co{s}^2(n{w}_{0}t)dt=\frac{\pi }{w_0}{a}_n \\ \Rightarrow a_n=\frac{w_0}{\pi }{\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}f(t)cos(n{w}_{0}t)dt=\frac{2}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)cos(n{w}_{0}t)dt \end{gathered}$$

计算 $b_n$
$$\begin{gathered} {\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}f(t)sin(n{w}_{0}t)dt={\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}{b}_{n}si{n}^2(n{w}_{0}t)dt=\frac{\pi }{w_0}{b}_n \\ \Rightarrow b_n=\frac{w_0}{\pi }{\int }_{-\frac{\pi }{w_0}}^{\frac{\pi }{w_0}}f(t)sin(n{w}_{0}t)dt=\frac{2}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)sin(n{w}_{0}t)dt \end{gathered}$$

到此，我们成功将原周期函数表示成了三角级数形式，而傅里叶又使用欧拉公式将三角级数化为了复指数形式，于是引出傅里叶级数。

由欧拉公式：
$$e^{jx}=cos(x)+jsin(x)$$

得：
$$\begin{gathered} cos(n{w}_{0}t)=\frac{e^{jn{w}_{0}t}+e^{-jn{w}_{0}t}}{2} \\ sin(n{w}_{0}t)=\frac{e^{jn{w}_{0}t}-e^{-jn{w}_{0}t}}{2j} \end{gathered}$$

代入到 $f(t)$ 得：
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn{w}_{0}t}+\frac{a_n+j{b}_n}{2}{e}^{-jn{w}_{0}t})$$

令 $F_n=\frac{a_n-j{b}_n}{2}$，则 $F_{-n}=\frac{a_n+j{b}_n}{2},F_0=\frac{a_0}{2}$，代入到 $f(t)$ 得到傅里叶级数：
$$f(t)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }(F_n{e}^{jn{w}_{0}t}+F_{-n}{e}^{-jn{w}_{0}t})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{w}_{0}t}$$

将 $a_n,b_n$ 代回到 $F_n$ 中，得到：
$$F_n=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jn{w}_{0}t}dt$$

连续傅里叶变换

傅里叶级数解决的是周期函数的表达问题，其频谱图是离散的，而傅里叶变换解决的则是非周期函数的表达问题，其频谱图是连续的。本节所说的傅里叶变换均指连续傅里叶变换。

对于非周期函数，有 $T_0\to \infty ,w_0\to dw,n{w}_0\to w$

将式子
$$F_n=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jn{w}_{0}t}dt$$

两边同乘 $T_0$ 并取极限得：
$$\underset{T_0\to \infty }{\lim }{F}_n{T}_0=\underset{T_0\to \infty }{\lim }{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jn{w}_{0}t}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$$

令 $F(w)=\underset{T_0\to \infty }{\lim }{F}_n{T}_0$ 得到傅里叶正变换：
$$F(w)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$$

将 $F(w)=\underset{T_0\to \infty }{\lim }{F}_n{T}_0$ 稍作变换还可以得到：
$$\underset{T_0\to \infty }{\lim }{F}_n=\underset{T_0\to \infty }{\lim }\frac{F(w)}{T_0}=\underset{T_0\to \infty }{\lim }\frac{F(w)w_0}{2\pi }=\frac{F(w)dw}{2\pi }$$

将式子
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{w}_{0}t}$$

取极限得傅里叶反变换：
$$f(t)=\underset{T_0\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{w}_{0}t}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{jwt}dw$$

离散傅里叶变换

当我们原始信号为离散的时候，就需要使用离散傅里叶变换对信号进行处理，离散傅里叶变换得到的频谱也是离散的，因此其公式可以由傅里叶级数公式简单推出。

将 $w_0=\frac{2\pi }{T_0}$ 带入到 $F_n$ 得：
$$F_n=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jn{w}_{0}t}dt=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-j2\pi \frac{nt}{T_0}}dt$$

转换成离散情况：
$$F(u)=\frac{1}{N}\sum _{x=0}^{N}f(x)e^{-j2\pi \frac{ux}{N}},u=0,1,\dots ,N-1$$

一般离散傅里叶变化把 $\frac{1}{N}$ 移到逆变换上，因此离散傅里叶正变换的最终表达式为：
$$F(u)=\sum _{x=0}^{N}f(x)e^{-j2\pi \frac{ux}{N}},u=0,1,\dots ,N-1$$

类比可得离散傅里叶反变换表达式为：
$$f(x)=\frac{1}{N}\sum _{u=0}^{N}F(u)e^{j2\pi \frac{ux}{N}},x=0,1,\dots ,N-1$$